SUJET OFFICIEL · 26-MATGEME1

Épreuve anticipée de mathématiques 2026 — Métropole, La Réunion et Mayotte — sans spécialité mathématiques

Le QCM et les trois exercices sont réunis dans l’ordre du sujet original.

Durée officielle: 2 h
Barème: 20 points
Calculatrice: Interdite
Parcours: Sans spécialité maths

L’épreuve comporte une première partie d’automatismes sur 6 points et une deuxième partie sur 14 points. Les corrections proposées ne sont pas des corrigés officiels.

MODE DE TRAVAIL

Vue complète du sujet

Temps restant02:00:00

Première partie — Automatismes — QCM

Pour cette partie, aucune justification n’est demandée et une seule réponse est possible par question. Une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève aucun point.

Répondez aux 8 questions sans calculatrice. Le chronomètre démarre uniquement lorsque vous lancez le quiz.

Questions: 8
Temps indicatif: 8 min
Barème: 6 points

Les réponses restent dans votre navigateur et ne sont pas enregistrées.

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Question 1. Le nombre 2/5 est égal à :
1. 0,2
2. 0,25
3. 0,4
4. 0,5
Question 2. 30 % de 150 est égal à :
1. 15
2. 30
3. 45
4. 60
Question 3. On donne ci-contre la représentation graphique d’une fonction f. Lequel de ces nombres est un antécédent de 3 ?
1. 0,5
2. 1
3. 1,5
4. 2
Question 4. La solution de l’équation 7x + 4 = 5x + 6 est :
1. x = −1
2. x = 0
3. x = 2
4. x = 1
Question 5. Un article coûte initialement 50 €. Son prix diminue de 10 % puis augmente de 10 %. Son prix final est de :
1. 49,50 €
2. 49,90 €
3. 50 €
4. 50,10 €
Question 6. On considère la courbe d’équation y = 2x² − x + 3. Le point d’abscisse −1 de la courbe est :
1. A(−1 ; 0)
2. B(−1 ; 2)
3. C(−1 ; 4)
4. D(−1 ; 6)
Question 7. Une droite passe par les points A(−1 ; 2) et B(−3 ; 4). Son coefficient directeur est :
1. −2
2. −1
3. 1
4. 2
Question 8. On s’intéresse au confort d’un hôtel. Les six dernières notes obtenues sont : 2 ; 3 ; 5 ; 4 ; 2 ; 3. La médiane de cette série de notes est :
1. 2
2. 3
3. 3,5
4. 4

Voir les réponses du QCM

Question 1 : 0,4
On calcule 2 ÷ 5 = 0,4.
Question 2 : 45
30 % de 150 valent 0,30 × 150 = 45.
Question 3 : 1
On cherche l’abscisse du point de la courbe dont l’ordonnée vaut 3. La courbe passe par le point (1 ; 3), donc 1 est un antécédent de 3.
Question 4 : x = 1
On soustrait 5x puis 4 dans les deux membres : 2x = 2, donc x = 1.
Question 5 : 49,50 €
Les coefficients multiplicateurs sont 0,9 puis 1,1. Ainsi 50 × 0,9 × 1,1 = 49,50.
Question 6 : D(−1 ; 6)
Pour x = −1 : 2 × (−1)² − (−1) + 3 = 2 + 1 + 3 = 6. Le point est donc D(−1 ; 6).
Question 7 : −1
Le coefficient directeur vaut (4 − 2)/(−3 − (−1)) = 2/(−2) = −1.
Question 8 : 3
Dans l’ordre : 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 4 ; 5. Les deux valeurs centrales sont 3 et 3 : la médiane vaut 3.

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DEUXIÈME PARTIE · EXERCICE 1

Sportifs de haut niveau

6 points
40 min conseillées

Énoncé

Dans un lycée, 120 élèves sont sportifs de haut niveau et sont séparés en deux sections : la section aquatique et la section judo. Pour chaque section, les élèves peuvent être en seconde, en première ou en terminale. La répartition de ces 120 élèves est donnée dans le tableau ci-dessous.

	Seconde	Terminale	Total
Section judo		8	24
Section aquatique	40
Total	50	14	120

Recopier et compléter le tableau sur la copie.

On choisit au hasard un élève parmi les 120 sportifs de haut niveau.

On définit les événements suivants :

$S$ : « l’élève est en seconde » ;
$P$ : « l’élève est en première » ;
$T$ : « l’élève est en terminale » ;
$A$ : « l’élève est en section aquatique » ;
$J$ : « l’élève est en section judo ».

Pour un événement quelconque $E$ , on note $P(E)$ la probabilité de $E$ et $P_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant l’événement $F$ .

Dans les questions qui suivent, les résultats seront donnés sous forme de fraction.

Décrire par une phrase l’événement $A\cap S$ , puis calculer sa probabilité.
On choisit au hasard un élève sportif en seconde, calculer la probabilité qu’il soit en section aquatique.
a. Calculer $P(J)$ .

b. Calculer $P_T(J)$ .

c. Les événements $J$ et $T$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Voir la correction détaillée

Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

1. Compléter le tableau

En seconde, $50-40=10$ élèves pratiquent le judo. Comme 24 élèves pratiquent le judo au total, il y en a $24-10-8=6$ en première.

En terminale, $14-8=6$ élèves pratiquent une activité aquatique. Cette section compte $120-24=96$ élèves, dont $96-40-6=50$ en première. On obtient alors $6+50=56$ élèves de première.

	Seconde	Première	Terminale	Total
Judo	10	6	8	24
Activités aquatiques	40	50	6	96
Total	50	56	14	120

2. Intersection de deux événements

$A\cap S$ est l’événement : « l’élève est en seconde et pratique une activité aquatique ».

Le tableau compte 40 élèves dans cette situation :

P(A\cap S)=\frac{40}{120}=\boxed{\frac13}.

3. Probabilité sachant que l’élève est en seconde

Parmi les 50 élèves de seconde, 40 pratiquent une activité aquatique :

P_S(A)=\frac{40}{50}=\boxed{\frac45}.

4. Judo et classe de terminale

a. Parmi les 120 élèves, 24 pratiquent le judo :

P(J)=\frac{24}{120}=\boxed{\frac15}.

b. Parmi les 14 élèves de terminale, 8 pratiquent le judo :

P_T(J)=\frac{8}{14}=\boxed{\frac47}.

c. On compare la probabilité de $J$ avec sa probabilité sachant $T$ :

P_T(J)=\frac47\neq\frac15=P(J).

Les événements $J$ et $T$ ne sont donc pas indépendants.

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DEUXIÈME PARTIE · EXERCICE 2

Choisir entre deux placements

8 points
50 min conseillées

Énoncé

En 2025, Emma et Pierre disposent d’un capital initial de 20 000 €. Pour réaliser un projet, ils ont besoin que le capital s’élève à 22 000 €. Ils souhaitent donc placer leur capital durant plusieurs années.

Ils ont le choix entre deux placements.

A — Premier placement

Avec ce placement A, le capital augmente chaque année de 200 € par rapport au capital de l’année précédente.

Pour tout entier naturel $n$ , on note $a_n$ le capital, en euros, dont dispose Emma en l’année $2025+n$ . Ainsi, $a_0=20\,000$ .

Calculer $a_1$ et $a_2$ .
a. Exprimer $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$ .

b. En déduire la nature de la suite $(a_n)$ et préciser sa raison.
Exprimer $a_n$ en fonction de $n$ .
À partir de quelle année auront-ils la somme nécessaire pour leur projet ?

B — Second placement

Avec le placement B, le capital augmente chaque année de 2 % par rapport au capital de l’année précédente.

On note $b_n$ la somme disponible en $2025+n$ . On a donc $b_0=20\,000$ .

Détailler le calcul permettant d’obtenir $b_1=20\,400$ .
a. Exprimer $b_{n+1}$ en fonction de $b_n$ pour tout entier naturel $n$ .

b. En déduire la nature de la suite $(b_n)$ . Préciser sa raison.
Exprimer $b_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$ .
Grâce à l’extrait de tableur ci-dessous, on visualise le capital arrondi à l’euro près.

$n$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$b_n$	20 000	20 400	20 808	21 224	21 649	22 082	22 523	22 974	23 433	23 902	24 380

Déterminer à partir de quelle année ils auront la somme nécessaire pour leur projet.

C — Bilan

Quel placement conseiller à Emma et Pierre afin qu’ils puissent réaliser leur projet le plus tôt possible ? Justifier.

Voir la correction détaillée

Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

A — Premier placement

Le capital gagne 200 euros chaque année :
$a_1=20\,000+200=\boxed{20\,200}, \qquad a_2=20\,200+200=\boxed{20\,400}.$
a. Pour tout entier naturel $n$ :
$\boxed{a_{n+1}=a_n+200}.$
b. La suite $(a_n)$ est arithmétique, de premier terme $a_0=20\,000$ et de raison $200$ .
Le terme général d’une suite arithmétique donne :
$\boxed{a_n=20\,000+200n}.$
On résout l’inéquation :
$20\,000+200n\geqslant22\,000 \iff200n\geqslant2\,000 \iff n\geqslant10.$
Le premier rang qui convient est $n=10$ , ce qui correspond à l’année $2025+10=2035$ . L’objectif sera atteint en 2035.

B — Second placement

Une augmentation de 2 % correspond à un coefficient multiplicateur de $1+\dfrac{2}{100}=1{,}02$ . Ainsi :
$b_1=20\,000\times1{,}02=\boxed{20\,400}.$
a. Pour tout entier naturel $n$ :
$\boxed{b_{n+1}=1{,}02b_n}.$
b. La suite $(b_n)$ est géométrique, de premier terme $b_0=20\,000$ et de raison $1{,}02$ .
Le terme général d’une suite géométrique donne :
$\boxed{b_n=20\,000\times1{,}02^n}.$
Le tableau montre que $b_4=21\,649<22\,000$ , tandis que $b_5=22\,082\geqslant22\,000$ . Le premier rang qui convient est donc $n=5$ , soit l’année $2025+5=2030$ . L’objectif sera atteint en 2030.

C — Bilan

Avec le placement à 2 %, l’objectif est atteint en 2030, contre 2035 avec le placement rapportant 200 euros par an. Pour atteindre 22 000 euros le plus rapidement possible, il faut donc choisir le placement B.

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