Choisir entre deux placements — Métropole, La Réunion et Mayotte 2026

Énoncé

En 2025, Emma et Pierre disposent d’un capital initial de 20 000 €. Pour réaliser un projet, ils ont besoin que le capital s’élève à 22 000 €. Ils souhaitent donc placer leur capital durant plusieurs années.

Ils ont le choix entre deux placements.

A — Premier placement

Avec ce placement A, le capital augmente chaque année de 200 € par rapport au capital de l’année précédente.

Pour tout entier naturel $n$ , on note $a_n$ le capital, en euros, dont dispose Emma en l’année $2025+n$ . Ainsi, $a_0=20\,000$ .

Calculer $a_1$ et $a_2$ .
a. Exprimer $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$ .

b. En déduire la nature de la suite $(a_n)$ et préciser sa raison.
Exprimer $a_n$ en fonction de $n$ .
À partir de quelle année auront-ils la somme nécessaire pour leur projet ?

B — Second placement

Avec le placement B, le capital augmente chaque année de 2 % par rapport au capital de l’année précédente.

On note $b_n$ la somme disponible en $2025+n$ . On a donc $b_0=20\,000$ .

Détailler le calcul permettant d’obtenir $b_1=20\,400$ .
a. Exprimer $b_{n+1}$ en fonction de $b_n$ pour tout entier naturel $n$ .

b. En déduire la nature de la suite $(b_n)$ . Préciser sa raison.
Exprimer $b_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$ .
Grâce à l’extrait de tableur ci-dessous, on visualise le capital arrondi à l’euro près.

$n$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$b_n$	20 000	20 400	20 808	21 224	21 649	22 082	22 523	22 974	23 433	23 902	24 380

Déterminer à partir de quelle année ils auront la somme nécessaire pour leur projet.

C — Bilan

Quel placement conseiller à Emma et Pierre afin qu’ils puissent réaliser leur projet le plus tôt possible ? Justifier.

Voir la correction détaillée

Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

A — Premier placement

Le capital gagne 200 euros chaque année :
$a_1=20\,000+200=\boxed{20\,200}, \qquad a_2=20\,200+200=\boxed{20\,400}.$
a. Pour tout entier naturel $n$ :
$\boxed{a_{n+1}=a_n+200}.$
b. La suite $(a_n)$ est arithmétique, de premier terme $a_0=20\,000$ et de raison $200$ .
Le terme général d’une suite arithmétique donne :
$\boxed{a_n=20\,000+200n}.$
On résout l’inéquation :
$20\,000+200n\geqslant22\,000 \iff200n\geqslant2\,000 \iff n\geqslant10.$
Le premier rang qui convient est $n=10$ , ce qui correspond à l’année $2025+10=2035$ . L’objectif sera atteint en 2035.

B — Second placement

Une augmentation de 2 % correspond à un coefficient multiplicateur de $1+\dfrac{2}{100}=1{,}02$ . Ainsi :
$b_1=20\,000\times1{,}02=\boxed{20\,400}.$
a. Pour tout entier naturel $n$ :
$\boxed{b_{n+1}=1{,}02b_n}.$
b. La suite $(b_n)$ est géométrique, de premier terme $b_0=20\,000$ et de raison $1{,}02$ .
Le terme général d’une suite géométrique donne :
$\boxed{b_n=20\,000\times1{,}02^n}.$
Le tableau montre que $b_4=21\,649<22\,000$ , tandis que $b_5=22\,082\geqslant22\,000$ . Le premier rang qui convient est donc $n=5$ , soit l’année $2025+5=2030$ . L’objectif sera atteint en 2030.

C — Bilan

Avec le placement à 2 %, l’objectif est atteint en 2030, contre 2035 avec le placement rapportant 200 euros par an. Pour atteindre 22 000 euros le plus rapidement possible, il faut donc choisir le placement B.