Épreuve anticipée de mathématiques 2026 — Amérique du Nord — sans spécialité mathématiques

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Partie A — Une augmentation constante

1. D’une année à la suivante, la population augmente toujours de 20 individus :

   $$u_{n+1}=u_n+20.$$

   La suite $(u_n)$ est donc arithmétique, de premier terme $u_0=200$ et de raison $20$.

2. Juin 2025 se situe six ans après juin 2019. On cherche donc $u_6$. Pour une suite arithmétique :

   $$u_n=u_0+20n=200+20n.$$

   Ainsi :

   $$u_6=200+20\times6=\boxed{320}.$$

   Selon ce modèle, la population compterait 320 marmottes en juin 2025.

3. Le décompte réel est de 355 marmottes, alors que le modèle en prévoit 320. L’écart est de 35 individus. Ce premier modèle sous-estime nettement la population observée et ne semble donc pas adapté.

Partie B — Une augmentation en pourcentage

1. Entre juin 2019 et juin 2020, l’augmentation est de $220-200=20$ marmottes. Rapportée à la population initiale, elle représente :

   $$\frac{20}{200}=0{,}10=\boxed{10\,\%}.$$

2. a. La relation $v_{n+1}=1{,}1v_n$ montre que chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par $1{,}1$. La suite $(v_n)$ est donc géométrique, de premier terme $v_0=200$ et de raison $1{,}1$.

   b. Le terme général d’une suite géométrique est $v_n=v_0q^n$. Ainsi :

   $$\boxed{v_n=200\times1{,}1^n}.$$

3. a. Juin 2025 correspond au rang $6$. Le tableau donne :

   $$\boxed{v_6\approx354}.$$

   Le second modèle prévoit donc environ 354 marmottes.

   b. Le décompte réel est de 355 marmottes. L’écart avec l’estimation n’est que d’un individu : ce second modèle semble pertinent pour cette date.

   c. Le tableau indique $v_7\approx390$ et $v_8\approx429$. Le seuil de 400 marmottes est donc dépassé pour la première fois au rang $8$.

   $$2019+8=2027.$$

   Selon ce modèle, la population dépassera 400 individus en juin 2027.

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Toutes les probabilités se calculent en divisant l’effectif correspondant à l’événement par l’effectif de l’ensemble dans lequel le choix est effectué.

1. Probabilité de choisir une femme

La salle compte 100 femmes parmi 200 adhérents :

2. Choisir un homme qui pratique le step

Le tableau compte 20 hommes pratiquant le step parmi les 200 adhérents :

3. Calculer $P(F\cap S)$

Il y a 60 femmes pratiquant le step :

4. Vérifier l’indépendance

Deux événements $F$ et $S$ sont indépendants lorsque $P(F\cap S)=P(F)\times P(S)$.

Le tableau donne :

Ainsi :

Or $P(F\cap S)=\dfrac3{10}$ et $\dfrac3{10}\neq\dfrac15$. Les événements $F$ et $S$ ne sont donc pas indépendants.

5. Choisir une femme qui pratique le crossfit

Le choix se fait uniquement parmi les 100 femmes. Parmi elles, 40 pratiquent le crossfit. La probabilité cherchée est donc :

6. Calculer $P_C(F)$

Cette fois, on se place parmi les 120 adhérents qui pratiquent le crossfit. Il y a 40 femmes dans ce groupe :

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1. Lire le graphique

a. À l’abscisse $3$, la courbe passe par le point d’ordonnée $5$. Ainsi :

b. Le nombre dérivé $f'(-1)$ est le coefficient directeur de la tangente au point $A$. Cette tangente passe par $A(-1;5)$ et par le point $(0;9)$. Son coefficient directeur vaut donc :

2. Calculer et étudier la dérivée

a. On dérive chaque terme de $f(x)=-x^2+2x+8$ :

Ainsi :

b. Cherchons la valeur pour laquelle la dérivée s’annule :

La fonction affine $x\mapsto-2x+2$ est décroissante. Sur $[-2;4]$ :

• $f'(x)>0$ lorsque $-2\leqslant x<1$ ;
• $f'(1)=0$ ;
• $f'(x)<0$ lorsque $1<x\leqslant4$.

3. Déduire les variations

La fonction $f$ est croissante là où sa dérivée est positive, puis décroissante là où sa dérivée est négative. Calculons les valeurs utiles :

et

La fonction $f$ est donc croissante sur $[-2;1]$, puis décroissante sur $[1;4]$. Elle atteint son maximum $9$ en $x=1$.