Deux modèles pour une population de marmottes

Énoncé

En juin 2019, une population de 200 marmottes a été introduite dans un massif montagneux où cette espèce était absente. Un zoologue en charge de ce projet souhaite modéliser l’évolution de cette population en fonction du temps.

Il constate qu’entre juin 2019 et juin 2020, la population a augmenté de 20 individus.

Partie A — Premier modèle

Le zoologue propose un premier modèle où la population augmente de 20 individus tous les ans.

On note alors $u_n$ la population de marmottes que l’on peut estimer à l’aide de ce modèle en juin $2019+n$ . On a donc $u_0=200$ .

Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ? Préciser sa raison.
À combien peut-on estimer le nombre de marmottes en juin 2025 ?
En juin 2025, un nouveau décompte a permis de savoir que la population était de 355 individus. Ce premier modèle semble-t-il être adapté à la situation ?

Partie B — Second modèle

On rappelle que la population de marmottes était de 200 individus en juin 2019 et de 220 individus en juin 2020.

De quel pourcentage la population a-t-elle augmenté entre ces deux dates ?

Le zoologue propose un second modèle où la population augmente de ce même pourcentage tous les ans. Dans ce modèle, on représente la population de marmottes en juin $2019+n$ par $v_n$ tel que, pour tout entier naturel $n$ :

v_{n+1}=1{,}1v_n.

a. Quelle est la nature de la suite $(v_n)$ ? Préciser sa raison et son premier terme.

b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ .
On utilise un tableur pour calculer les termes de la suite $(v_n)$ .

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$v_n$	$200$	$220$	$242$	$266$	$293$	$322$	$354$	$390$	$429$	$472$	$519$

a. Selon ce nouveau modèle, à combien peut-on estimer le nombre de marmottes en juin 2025 ?

b. En utilisant la donnée fournie dans la question 3 de la partie A, ce nouveau modèle semble-t-il pertinent ?

c. Au mois de juin de quelle année la population de marmottes de ce massif montagneux aura-t-elle dépassé 400 individus, selon ce modèle ?

Voir la correction détaillée

Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

Partie A — Une augmentation constante

D’une année à la suivante, la population augmente toujours de 20 individus :
$u_{n+1}=u_n+20.$
La suite $(u_n)$ est donc arithmétique, de premier terme $u_0=200$ et de raison $20$ .
Juin 2025 se situe six ans après juin 2019. On cherche donc $u_6$ . Pour une suite arithmétique :
$u_n=u_0+20n=200+20n.$
Ainsi :
$u_6=200+20\times6=\boxed{320}.$
Selon ce modèle, la population compterait 320 marmottes en juin 2025.
Le décompte réel est de 355 marmottes, alors que le modèle en prévoit 320. L’écart est de 35 individus. Ce premier modèle sous-estime nettement la population observée et ne semble donc pas adapté.

Partie B — Une augmentation en pourcentage

Entre juin 2019 et juin 2020, l’augmentation est de $220-200=20$ marmottes. Rapportée à la population initiale, elle représente :
$\frac{20}{200}=0{,}10=\boxed{10\,\%}.$
a. La relation $v_{n+1}=1{,}1v_n$ montre que chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par $1{,}1$ . La suite $(v_n)$ est donc géométrique, de premier terme $v_0=200$ et de raison $1{,}1$ .

b. Le terme général d’une suite géométrique est $v_n=v_0q^n$ . Ainsi :
$\boxed{v_n=200\times1{,}1^n}.$
a. Juin 2025 correspond au rang $6$ . Le tableau donne :
$\boxed{v_6\approx354}.$
Le second modèle prévoit donc environ 354 marmottes.

b. Le décompte réel est de 355 marmottes. L’écart avec l’estimation n’est que d’un individu : ce second modèle semble pertinent pour cette date.

c. Le tableau indique $v_7\approx390$ et $v_8\approx429$ . Le seuil de 400 marmottes est donc dépassé pour la première fois au rang $8$ .
$2019+8=2027.$
Selon ce modèle, la population dépassera 400 individus en juin 2027.