Lire puis étudier une parabole — Amérique du Nord 2026

Énoncé

On considère ci-dessous la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur $[-2;4]$ . On a également tracé sa tangente au point $A$ d’abscisse $-1$ .

Par lecture graphique, donner la valeur de :

a. $f(3)$ ;

b. $f'(-1)$ .
On admet que la fonction $f$ est définie sur $[-2;4]$ par :
$f(x)=-x^2+2x+8.$
a. Calculer $f'(x)$ pour $x$ appartenant à $[-2;4]$ .

b. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[-2;4]$ .
Donner les variations de $f$ sur $[-2;4]$ .

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Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

1. Lire le graphique

a. À l’abscisse $3$ , la courbe passe par le point d’ordonnée $5$ . Ainsi :

\boxed{f(3)=5}.

b. Le nombre dérivé $f'(-1)$ est le coefficient directeur de la tangente au point $A$ . Cette tangente passe par $A(-1;5)$ et par le point $(0;9)$ . Son coefficient directeur vaut donc :

f'(-1)=\frac{9-5}{0-(-1)}=\boxed{4}.

2. Calculer et étudier la dérivée

a. On dérive chaque terme de $f(x)=-x^2+2x+8$ :

f'(x)=-2x+2.

Ainsi :

\boxed{f'(x)=-2x+2}.

b. Cherchons la valeur pour laquelle la dérivée s’annule :

-2x+2=0 \iff x=1.

La fonction affine $x\mapsto-2x+2$ est décroissante. Sur $[-2;4]$ :

$f'(x)>0$ lorsque $-2\leqslant x<1$ ;
$f'(1)=0$ ;
$f'(x)<0$ lorsque $1<x\leqslant4$ .

3. Déduire les variations

La fonction $f$ est croissante là où sa dérivée est positive, puis décroissante là où sa dérivée est négative. Calculons les valeurs utiles :

f(-2)=-(-2)^2+2\times(-2)+8=0,

f(1)=-1^2+2\times1+8=9,

f(4)=-4^2+2\times4+8=0.

$x$	$-2$		$1$		$4$
Signe de $f'(x)$		+	$0$	−
Variations de $f$	$0$	↗	$9$	↘	$0$

La fonction $f$ est donc croissante sur $[-2;1]$ , puis décroissante sur $[1;4]$ . Elle atteint son maximum $9$ en $x=1$ .