Formulaire de trigonométrie — Terminale spécialité

Ces trois rapports définissent les lignes trigonométriques d’un angle aigu dans un triangle rectangle. Ils ne dépendent pas de la taille du triangle : deux triangles rectangles possédant le même angle aigu sont semblables, donc leurs côtés correspondants sont proportionnels.

Ainsi, lorsque le triangle est agrandi ou réduit, le numérateur et le dénominateur de chaque rapport sont multipliés par le même nombre. Le quotient reste inchangé.

Dans un triangle rectangle, notons $a$ le côté adjacent, $o$ le côté opposé et $h$ l’hypoténuse. En divisant les deux rapports, on obtient

La mesure en radians est définie par le rapport entre la longueur de l’arc et le rayon. Un tour complet a pour longueur $2\pi r$, donc mesure $(2\pi r)/r=2\pi$ radians. Ce même tour vaut $360^\circ$, d’où $\pi$ radians pour $180^\circ$. Les conversions découlent ensuite d’une proportionnalité.

Par définition, le cosinus de $x$ est l’abscisse du point obtenu après un déplacement angulaire de $x$ radians sur le cercle unité, et son sinus est l’ordonnée de ce point.

La relation $\cos^2 x+\sin^2 x=1$ découle alors immédiatement de l’équation du cercle unité.

Dans un triangle rectangle de côtés adjacent $a$, opposé $o$ et d’hypoténuse $h$, le théorème de Pythagore donne $a^2+o^2=h^2$. En divisant par $h^2$, on trouve

soit $\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1$. Sur le cercle trigonométrique, c’est simplement l’équation $x^2+y^2=1$ du cercle unité.

Pour $\pi/4$, un triangle rectangle isocèle de côtés $1,1,\sqrt2$ donne $\cos(\pi/4)=\sin(\pi/4)=1/\sqrt2=\sqrt2/2$.

Pour $\pi/3$, on coupe un triangle équilatéral de côté $2$ en deux. Le triangle rectangle obtenu a pour côtés $1,\sqrt3,2$, donc $\cos(\pi/3)=1/2$ et $\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$. Les valeurs en $\pi/6$ s’en déduisent en échangeant sinus et cosinus.

Deux points du cercle unité ont la même abscisse lorsqu’ils sont confondus ou symétriques par rapport à l’axe des abscisses. Cela donne les deux familles de solutions pour le cosinus, auxquelles on ajoute un nombre entier de tours.

Pour le sinus, on raisonne de même avec l’ordonnée et la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. Enfin, la tangente est de période $\pi$ et prend une seule fois chaque valeur sur tout intervalle où elle est continue entre deux asymptotes consécutives.

Sur le cercle trigonométrique, les points d’angles $x$ et $-x$ sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses : leur abscisse est identique et leur ordonnée opposée. Cela donne la parité du cosinus et l’imparité du sinus, puis celle de la tangente.

Ajouter $2k\pi$ revient à effectuer $k$ tours complets. Pour la tangente, un demi-tour change simultanément les signes du sinus et du cosinus : leur quotient reste donc inchangé.

Le point d’angle $\pi-x$ est le symétrique du point d’angle $x$ par rapport à l’axe des ordonnées : son cosinus change de signe et son sinus est conservé. Un demi-tour, correspondant à l’ajout de $\pi$, change les deux coordonnées de signe.

Enfin, les angles $x$ et $\pi/2-x$ sont complémentaires. La symétrie par rapport à la droite $y=x$ échange leurs abscisses et leurs ordonnées, donc échange cosinus et sinus.

Cette égalité est la définition géométrique du produit scalaire. Si l’on projette orthogonalement $\vec v$ sur la direction de $\vec u$, la longueur algébrique de la projection vaut $\lVert\vec v\rVert\cos(\theta)$. Le produit par $\lVert\vec u\rVert$ donne alors $\vec u\cdot\vec v$.

Avec $\vec{BC}=\vec{BA}+\vec{AC}$, on développe le carré de la norme :

Or l’angle entre $\vec{BA}$ et $\vec{AC}$ vaut $\pi-A$, donc leur produit scalaire vaut $bc\cos(\pi-A)=-bc\cos A$. On obtient bien la formule.

À partir de la formule d’addition, on écrit

Lorsque $h$ tend vers $0$, les limites $\frac{\sin h}{h}\to1$ et $\frac{\cos h-1}{h}\to0$ donnent $(\sin x)'=\cos x$. Le même calcul appliqué au cosinus donne $(\cos x)'=-\sin x$.

Une primitive de $f$ est une fonction dont la dérivée vaut $f$. Comme $(\sin x)'=\cos x$, les primitives de $\cos x$ sont $\sin x+C$. De même, $(-\cos x)'=\sin x$, ce qui donne la seconde formule.