Formulaire de trigonométrie

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Définitions de base

Cosinus, sinus et tangente dans un triangle rectangle

Cosinus

\cos(\alpha)=\dfrac{\text{côté adjacent à }\alpha}{\text{hypoténuse}}

Sinus

\sin(\alpha)=\dfrac{\text{côté opposé à }\alpha}{\text{hypoténuse}}

Tangente

\tan(\alpha)=\dfrac{\text{côté opposé à }\alpha}{\text{côté adjacent à }\alpha}

Le nom « adjacent » ou « opposé » dépend de l’angle choisi ; l’hypoténuse reste toujours le côté opposé à l’angle droit.

Le triangle est rectangle et α désigne l’un de ses deux angles aigus.
L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.

Pourquoi ? — Définition

Ces trois rapports définissent les lignes trigonométriques d’un angle aigu dans un triangle rectangle. Ils ne dépendent pas de la taille du triangle : deux triangles rectangles possédant le même angle aigu sont semblables, donc leurs côtés correspondants sont proportionnels.

Ainsi, lorsque le triangle est agrandi ou réduit, le numérateur et le dénominateur de chaque rapport sont multipliés par le même nombre. Le quotient reste inchangé.

Relier la tangente au sinus et au cosinus

\tan(\alpha)=\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}

La formule est valable lorsque cos(α) ≠ 0 ; dans un triangle rectangle, α est aigu.

Pourquoi ? — Démonstration

Dans un triangle rectangle, notons $a$ le côté adjacent, $o$ le côté opposé et $h$ l’hypoténuse. En divisant les deux rapports, on obtient

\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} =\frac{o/h}{a/h} =\frac{o}{a} =\tan(\alpha).

Sources et programme de référence

Ressources d’accompagnement du programme de mathématiques au cycle 4Éduscol — Ministère de l’Éducation nationale

Les démonstrations et justifications sont rédigées pour cette fiche à partir des définitions usuelles.