Maîtriser les fractions au lycée : cours et exercices corrigés

Les fractions sont un outil incontournable des mathématiques. On l’oublie parfois mais elles sont introduites dès l’école primaire et sont fréquemment utilisées au collège, puis au lycée et enfin dans le supérieur. Pourtant, force est de constater que de nombreux élèves éprouvent des difficultés à les manipuler correctement.

Manipuler les fractions doit devenir un automatisme. Sans cela, il peut être difficile de comprendre les (nombreuses !) notions introduites en cours qui les utilisent, par exemple en probabilités et en analyse. Lors d’un examen, elles sont une source fréquente d’erreurs et de pertes de temps. Il est donc important de comprendre les règles de calcul associées aux fractions et de savoir les appliquer rapidement et sans erreur. Cela passe inévitablement par une pratique régulière. Les professeurs de mathématiques font d’ailleurs souvent des rappels sur les fractions chaque année, y compris en début de classes préparatoires.

Cette note est une référence progressive. Il n’est ni nécessaire ni souhaitable de tout travailler en une seule fois. Pour vous aidez à situer votre degré de maîtrise, commencez par le petit diagnostic ci-après, puis rejoignez le premier niveau qui correspond à vos difficultés. Les cinq premiers niveaux consolident le calcul numérique ; les deux derniers préparent plus particulièrement la spécialité mathématiques.

Diagnostic: Évaluez votre degré de maîtrise

Effectuez les onze questions suivantes (sans calculatrice bien sur).

1. Quelle condition doit vérifier $b$ pour que l’écriture $\frac ab$ ait un sens ?
2. Les nombres $-\frac35$, $\frac{-3}{5}$ et $\frac3{-5}$ sont-ils égaux ?
3. Rendre irréductible la fraction $\frac{42}{63}$.
4. Comparer $\frac56$ et $\frac79$.
5. Écrire $12{,}5\,\%$ sous forme d’une fraction irréductible, puis augmenter $80$ de $15\,\%$.
6. Calculer $\frac34-\frac56$.
7. Calculer $\dfrac{-\frac23}{\frac59}$.
8. Calculer $1-\dfrac{\frac23}{\frac56}$.
9. Calculer $\left(\frac25\right)^{-2}$.
10. Simplifier $\frac{x^2-9}{x-3}$ en précisant la valeur interdite.
11. Résoudre $\frac{x+1}{x-2}=3$.

Correction du diagnostic

1. Il faut $b\neq0$ : la division par zéro n’est pas définie.
2. Oui : déplacer le signe moins ne change pas la valeur, $-\frac35=\frac{-3}{5}=\frac3{-5}$. En revanche, $\frac{-3}{-5}=\frac35$.
3. $\frac{42}{63}=\frac{2\times21}{3\times21}=\frac23$.
4. $\frac56=\frac{15}{18}$ et $\frac79=\frac{14}{18}$, donc $\frac56>\frac79$.
5. $12{,}5\,\%=\frac{12{,}5}{100}=\frac18$. Augmenter $80$ de $15\,\%$ revient à calculer $80\times1{,}15=92$.
6. $\frac34-\frac56=\frac9{12}-\frac{10}{12}=-\frac1{12}$.
7. $\dfrac{-\frac23}{\frac59}=-\frac23\times\frac95=-\frac65$.
8. $\dfrac{\frac23}{\frac56}=\frac23\times\frac65=\frac45$, donc le résultat vaut $\frac15$.
9. $\left(\frac25\right)^{-2}=\left(\frac52\right)^2=\frac{25}{4}$.
10. Pour $x\neq3$, $\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$.
11. La valeur $2$ est interdite. Pour $x\neq2$, $x+1=3(x-2)$, donc $2x=7$ et $x=\frac72$, qui est autorisé.

En fonction de vos réponses, vous pouvez aller directement au niveau le plus bas que vous ne maîtrisez pas encore.

Niveau 1 — Comprendre les écritures fractionnaires

Pour deux nombres $a$ et $b$, avec $b\neq0$, l’écriture $\frac ab$ se lit « $a$ sur $b$ » et désigne le quotient de $a$ par $b$, c’est-à-dire le résultat de la division de $a$ par $b$.

Le nombre $a$ est le numérateur et $b$ le dénominateur. Le quotient $\frac ab$ est précisément le nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$ :

$$b\times\frac ab=a.$$

Lorsque $a$ et $b$ sont entiers, le quotient est un nombre rationnelGlossaire · CollègeNombre rationnelUn nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire comme le quotient de deux entiers, avec un dénominateur non nul.Les nombres entiers et les nombres décimaux sont rationnels, mais un rationnel n’a pas toujours une écriture décimale finie.Par exemple, 3/4 = 0,75 et 1/3 sont deux nombres rationnels.Fermer. Une même valeur peut posséder plusieurs écritures :

$$\frac34=0{,}75=75\,\%=\frac6{8}.$$

Toutes les fractions ne possèdent pas une écriture décimale finie. Par exemple, $\frac13=0{,}333\ldots$ est rationnel, mais n’est pas un nombre décimalGlossaire · CollègeNombre décimalUn nombre décimal est un nombre qui possède une écriture décimale finie ; il peut s’écrire sous la forme a/10ⁿ, où a est un entier et n un entier naturel.Tout nombre décimal est rationnel, mais certains nombres rationnels ne sont pas décimaux.Par exemple, −2,35 = −235/100 est décimal, tandis que 1/3 ne l’est pas.Fermer.

Signe et valeur nulle

Un seul signe moins rend le quotient négatif et deux signes moins s’annulent :

$$-\frac ab=\frac{-a}{b}=\frac a{-b}, \qquad \frac{-a}{-b}=\frac ab.$$

La fraction $\frac0b$ vaut $0$ lorsque $b\neq0$. En revanche, $\frac a0$ n’existe jamais, même lorsque $a=0$.

Fractions égales et produit en croix

On peut multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre sans changer la valeur (car cela revient à mutiplier oud viser par 1) :

$$\frac ab=\frac{ka}{kb} \qquad (b\neq0,\ k\neq0).$$

Autre transformation utile dans le contexte d’une égalité entre fractions, si $b\neq0$ et $d\neq0$ :

Exercices du niveau 1

1. Dans $\frac{11}{4}$, identifier le numérateur et le dénominateur, expliquer le quotient représenté et donner son écriture décimale.
2. Un élève affirme que $\frac{-7}{-9}$ est négatif « parce qu’il y a des signes moins ». Analyser son affirmation.
3. Écrire $0{,}375$ sous forme d’une fraction irréductible, puis en pourcentage.
4. Une classe de $45$ élèves compte $\frac35$ de demi-pensionnaires. Combien d’élèves sont demi-pensionnaires ?

Correction de l’exercice 1

Le numérateur est $11$ et le dénominateur est $4$. La fraction désigne le quotient de $11$ par $4$, c’est-à-dire le nombre qui, multiplié par $4$, donne $11$ :

$$\frac{11}{4}=2{,}75.$$

Correction de l’exercice 2

L’affirmation est fausse. Le quotient de deux nombres négatifs est positif :

$$\frac{-7}{-9}=\frac79.$$

Il faut compter les signes et appliquer la règle du quotient, pas seulement constater leur présence.

Correction de l’exercice 3

On part de l’écriture décimale :

$$0{,}375=\frac{375}{1\,000}=\frac{3}{8}.$$

Comme $0{,}375\times100=37{,}5$, on a aussi $0{,}375=37{,}5\,\%$.

Correction de l’exercice 4

Prendre les $\frac35$ d’une quantité revient à la multiplier par $\frac35$ :

$$45\times\frac35=9\times3=27.$$

La classe compte donc $27$ demi-pensionnaires.

Niveau 2 — Simplifier et comparer

La fraction $\frac{12}{18}$ est réductible, car $12$ et $18$ possèdent le facteur commun $6$ :

$$\frac{12}{18}=\frac{6\times2}{6\times3}=\frac23.$$

À l’inverse, $\frac23$ est irréductible : $2$ et $3$ n’ont aucun diviseur positif commun autre que $1$.

Simplifier une fraction consiste à diviser son numérateur et son dénominateur par un même facteur non nul. Une fraction est irréductible lorsque ces deux entiers n’ont plus de diviseur commun autre que $1$ et $-1$.

La décomposition en facteurs premiersGlossaire · CollègeDécomposition en facteurs premiersDécomposer un entier en facteurs premiers consiste à l’écrire comme un produit de nombres premiers.Cette écriture permet notamment de repérer les facteurs communs au numérateur et au dénominateur d’une fraction.Par exemple, 60 = 2² × 3 × 5.Fermer permet de faire apparaître tous les facteurs communs et donc de simplifier une fraction en une fraction irréductible.

Par exemple :

$$\begin{aligned} 180&=2^2\times3^2\times5,\\ 252&=2^2\times3^2\times7, \end{aligned}$$

donc :

$$\frac{180}{252} =\frac{2^2\times3^2\times5}{2^2\times3^2\times7} =\frac57.$$

Comparer deux fractions

Avec un même dénominateur positif, la fraction qui a le plus grand numérateur est la plus grande. On peut donc réduire les deux fractions au même dénominateur :

$$\frac7{12}=\frac{21}{36}, \qquad \frac59=\frac{20}{36}, \qquad \frac7{12}>\frac59.$$

On peut aussi utiliser les produits en croix lorsque les dénominateurs sont strictement positifs : ici, $7\times9=63$ et $5\times12=60$. Si un dénominateur est négatif, on commence par déplacer son signe au numérateur.

Un ordre de grandeur constitue un contrôle utile. Par exemple, $\frac{51}{101}$ est légèrement supérieur à $\frac12$, car $2\times51>101$.

Exercices du niveau 2

1. Rendre $-\frac{168}{252}$ irréductible.
2. Un élève écrit $\frac{18+6}{6}=18+1=19$. Identifier l’erreur et corriger le calcul.
3. Comparer $-\frac7{12}$ et $-\frac59$ sans calculatrice.
4. Trouver une fraction de dénominateur $20$ strictement comprise entre $\frac25$ et $\frac12$.

Correction de l’exercice 1

Le plus grand diviseur commun de $168$ et $252$ est $84$ :

$$-\frac{168}{252}=-\frac{2\times84}{3\times84}=-\frac23.$$

Correction de l’exercice 2

On ne peut pas simplifier le $6$ du dénominateur avec un seul terme du numérateur. Il faut calculer la somme ou mettre le facteur commun en évidence :

$$\frac{18+6}{6}=\frac{24}{6}=4,$$

ou bien :

$$\frac{6(3+1)}6=3+1=4.$$

Correction de l’exercice 3

Avec le dénominateur commun $36$ :

$$-\frac7{12}=-\frac{21}{36}, \qquad -\frac59=-\frac{20}{36}.$$

Comme $-21<-20$, on obtient $-\frac7{12}<-\frac59$.

Correction de l’exercice 4

On écrit les deux bornes avec le dénominateur $20$ :

$$\frac25=\frac8{20}, \qquad \frac12=\frac{10}{20}.$$

La fraction $\frac9{20}$ est donc strictement comprise entre les deux.

Niveau 3 — Fractions et pourcentages

Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est $100$. Ainsi, pour tout nombre $p$ :

$$p\,\%=\frac{p}{100}.$$

Par exemple :

$$35\,\%=\frac{35}{100}=\frac7{20}, \qquad 12{,}5\,\%=\frac{12{,}5}{100}=\frac18.$$

Pour passer d’une fraction à un pourcentage, on cherche une fraction égale de dénominateur $100$ ou on multiplie sa valeur par $100$ :

$$\frac38=0{,}375=37{,}5\,\%.$$

Augmenter ou diminuer de $t\,\%$

Augmenter une valeur $V$ de $t\,\%$, c’est lui ajouter la fraction $\frac{t}{100}$ d’elle-même :

$$V+\frac{t}{100}V =V\left(1+\frac{t}{100}\right).$$

Diminuer cette valeur de $t\,\%$, c’est multiplier par $1-\frac{t}{100}$ :

$$\begin{aligned} \text{augmentation de }t\,\% &: \quad V\times\left(1+\frac{t}{100}\right),\\ \text{diminution de }t\,\% &: \quad V\times\left(1-\frac{t}{100}\right). \end{aligned}$$

Par exemple, augmenter $80$ de $15\,\%$ donne :

$$80\times\left(1+\frac{15}{100}\right) =80\times1{,}15 =92.$$

Exercices du niveau 3

1. Écrire $32\,\%$ et $7{,}5\,\%$ sous forme de fractions irréductibles, puis écrire $\frac7{20}$ sous forme d’un pourcentage.
2. Un élève affirme : « Augmenter $80$ de $15\,\%$, c’est calculer $80+15=95$. » Expliquer son erreur et corriger.
3. Un article coûte $240$ €. Son prix augmente de $12\,\%$, puis le nouveau prix bénéficie d’une réduction de $10\,\%$. Calculer le prix final.
4. Une quantité passe de $250$ à $215$. Déterminer son pourcentage de diminution.

Correction de l’exercice 1

On utilise $p\,\%=\frac{p}{100}$, puis on simplifie :

$$32\,\%=\frac{32}{100}=\frac8{25}, \qquad 7{,}5\,\%=\frac{7{,}5}{100}=\frac{75}{1\,000}=\frac3{40}.$$

Enfin :

$$\frac7{20}=\frac{35}{100}=35\,\%.$$

Correction de l’exercice 2

Le nombre $15$ désigne ici une proportion de $100$, pas une quantité à ajouter directement. Les $15\,\%$ de $80$ valent :

$$\frac{15}{100}\times80=12.$$

La valeur augmentée est donc $80+12=92$, ou directement $80\times1{,}15=92$.

Correction de l’exercice 3

On applique successivement les coefficients multiplicateurs. Ils se multiplient, car la réduction porte sur le prix déjà augmenté :

$$240\times1{,}12\times0{,}90=241{,}92.$$

Le prix final est donc $241{,}92$ €. Ajouter les taux $12\,\%-10\,\%=2\,\%$ serait incorrect.

Correction de l’exercice 4

La diminution est de $250-215=35$. On rapporte cette variation à la valeur de départ :

$$\frac{35}{250}=\frac{14}{100}=14\,\%.$$

La quantité a diminué de $14\,\%$.

Niveau 4 — Calculer

Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut un dénominateur commun :

$$\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd} \qquad (b\neq0,\ d\neq0).$$

Pour les multiplier, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

$$\frac ab\times\frac cd=\frac{ac}{bd}.$$

L’inverse d’un nombre non nul $\frac ab$ est $\frac ba$. Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse :

Priorités et fractions imbriquées

Les barres de fraction jouent le rôle de parenthèses. La barre principale sépare deux blocs : tout le numérateur et tout le dénominateur. On procède donc toujours dans cet ordre :

1. repérer la barre de fraction principale ;
2. calculer et réduire le numérateur ;
3. calculer et réduire le dénominateur ;
4. multiplier le numérateur obtenu par l’inverse du dénominateur obtenu.

Dans

$$\frac{1+\frac12}{2-\frac34},$$

on calcule séparément le numérateur et le dénominateur :

$$\frac{\frac32}{\frac54} =\frac32\times\frac45 =\frac65.$$

Voici un deuxième exemple, avec une soustraction au numérateur et une addition au dénominateur :

$$\begin{aligned} \frac{\frac56-\frac14}{1+\frac23} &=\frac{\frac{10}{12}-\frac3{12}}{\frac33+\frac23}\\ &=\frac{\frac7{12}}{\frac53}\\ &=\frac7{12}\times\frac35\\ &=\frac7{20}. \end{aligned}$$

Une opération peut encore se trouver à l’extérieur de la fraction complexe :

$$\begin{aligned} 1-\frac{\frac34+\frac16}{\frac52-\frac43} &=1-\frac{\frac{11}{12}}{\frac76}\\ &=1-\frac{11}{12}\times\frac67\\ &=1-\frac{11}{14}\\ &=\frac3{14}. \end{aligned}$$

Dans ce dernier calcul, la soustraction extérieure est effectuée en dernier : elle ne fait partie ni du numérateur ni du dénominateur de la grande fraction.

Avant de commencer un calcul, on peut prévoir son signe et un ordre de grandeur. Si un résultat attendu entre $0$ et $1$ devient négatif ou supérieur à $10$, il faut relire les étapes avant de poursuivre.

Exercices du niveau 4

1. Calculer $A=\frac7{10}-\frac34$.
2. Un élève écrit $\dfrac{\frac23}{\frac45}=\frac8{15}$. Expliquer son erreur et corriger.
3. Calculer $B=\dfrac{\frac34-\frac16}{\frac52+\frac13}$.
4. Un réservoir est rempli aux $\frac34$. On utilise les $\frac25$ de l’eau qu’il contient. Quelle fraction de sa capacité totale reste remplie ?

Correction de l’exercice 1

Le plus petit dénominateur commun est $20$ :

$$A=\frac{14}{20}-\frac{15}{20}=-\frac1{20}.$$

Le résultat négatif est cohérent, car $\frac7{10}<\frac34$.

Correction de l’exercice 2

L’élève a multiplié les deux fractions sans inverser le diviseur. Il faut multiplier par l’inverse de $\frac45$ :

$$\dfrac{\frac23}{\frac45} =\frac23\times\frac54 =\frac{10}{12} =\frac56.$$

Correction de l’exercice 3

La barre principale sépare le numérateur du dénominateur. On réduit chacun de ces deux blocs avant d’effectuer le quotient :

$$\begin{aligned} B &=\frac{\frac9{12}-\frac2{12}}{\frac{15}{6}+\frac26}\\ &=\frac{\frac7{12}}{\frac{17}{6}}\\ &=\frac7{12}\times\frac6{17}\\ &=\frac7{34}. \end{aligned}$$

Correction de l’exercice 4

Après l’utilisation, il reste $1-\frac25=\frac35$ de l’eau présente au départ. La fraction de la capacité totale encore remplie vaut donc :

$$\frac34\times\frac35=\frac9{20}.$$

Entraînement ciblé — Fractions complexes

Pour chacun des calculs suivants, recopiez d’abord la barre principale, puis faites apparaître sur deux lignes distinctes le calcul du numérateur et celui du dénominateur.

1. $C=\dfrac{\frac12+\frac34}{\frac53-\frac16}$ ;
2. $D=2-\dfrac{\frac78-\frac13}{\frac54+\frac12}$ ;
3. $E=\dfrac{1-\dfrac{\frac12}{\frac34}}{\frac23+\frac16}$.

Correction du calcul C

On commence par les deux blocs séparés par la barre principale :

$$\frac12+\frac34=\frac54, \qquad \frac53-\frac16=\frac{10}{6}-\frac16=\frac32.$$

Puis on effectue le quotient :

$$C=\frac{\frac54}{\frac32} =\frac54\times\frac23 =\frac56.$$

Correction du calcul D

Dans la fraction complexe :

$$\frac78-\frac13=\frac{21}{24}-\frac8{24}=\frac{13}{24}, \qquad \frac54+\frac12=\frac74.$$

La soustraction extérieure reste en attente jusqu’à ce que la fraction soit réduite :

$$\begin{aligned} D &=2-\frac{\frac{13}{24}}{\frac74}\\ &=2-\frac{13}{24}\times\frac47\\ &=2-\frac{13}{42}\\ &=\frac{71}{42}. \end{aligned}$$

Correction du calcul E

Le quotient le plus imbriqué est calculé en premier :

$$\frac{\frac12}{\frac34}=\frac12\times\frac43=\frac23.$$

On peut alors réduire le numérateur et le dénominateur de la barre principale :

$$1-\frac23=\frac13, \qquad \frac23+\frac16=\frac56.$$

Enfin :

$$E=\frac{\frac13}{\frac56} =\frac13\times\frac65 =\frac25.$$

Générateur d’entraînement

Choisissez une difficulté, simplifiez l’expression sur papier, puis affichez la correction pour contrôler chaque étape. Le bouton « Nouvelle expression » permet de recommencer autant de fois que nécessaire.

Difficulté 1Fraction réductibleDifficulté 2Somme ou différenceDifficulté 3Produit ou quotientDifficulté 4Fraction complexe

Expression à simplifier

$$\frac{12}{15}$$

Afficher la correctionNouvelle expression

Niveau 5 — Fractions, puissances et racines

Pour un entier naturel $n$ et $b\neq0$, élever une fraction à la puissance $n$ revient à élever séparément son numérateur et son dénominateur :

$$\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}.$$

Si $a\neq0$, un exposant négatif fait apparaître l’inverse :

$$a^{-n}=\frac1{a^n}, \qquad \left(\frac ab\right)^{-n}=\left(\frac ba\right)^n \quad (a\neq0,\ b\neq0).$$

Ces propriétés suffisent ici pour manipuler les fractions. La notation scientifique et l’étude générale des puissances relèvent d’une note distincte.

Utiliser le conjugué

Lorsque le dénominateur contient une somme ou une différence avec une racine carrée, multiplier par l’expression conjuguée peut faire disparaître la racine du dénominateur. L’identité $(u-v)(u+v)=u^2-v^2$ donne par exemple :

$$\frac1{\sqrt5-2} =\frac{\sqrt5+2}{(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)} =\frac{\sqrt5+2}{5-4} =\sqrt5+2.$$

Exercices du niveau 5

1. Calculer $\left(\frac35\right)^3$.
2. Un élève écrit $\left(\frac23\right)^{-2}=-\frac49$. Identifier ses deux confusions et corriger.
3. Simplifier $C=\dfrac{\left(\frac23\right)^4}{\left(\frac23\right)^{-2}}$.
4. Écrire $\frac3{\sqrt7+2}$ sans racine carrée au dénominateur.

Correction de l’exercice 1

$$\left(\frac35\right)^3=\frac{3^3}{5^3}=\frac{27}{125}.$$

Correction de l’exercice 2

Un exposant négatif ne donne pas un résultat négatif : il demande de prendre l’inverse. Ensuite, le carré d’un nombre positif est positif. Ainsi :

$$\left(\frac23\right)^{-2} =\left(\frac32\right)^2 =\frac94.$$

Correction de l’exercice 3

Diviser deux puissances de même base revient ici à soustraire les exposants :

$$C=\left(\frac23\right)^{4-(-2)} =\left(\frac23\right)^6 =\frac{64}{729}.$$

On peut retrouver cette règle en remplaçant le dénominateur par $\left(\frac32\right)^2$ puis en multipliant.

Correction de l’exercice 4

Le conjugué de $\sqrt7+2$ est $\sqrt7-2$ :

$$\begin{aligned} \frac3{\sqrt7+2} &=\frac{3(\sqrt7-2)}{(\sqrt7+2)(\sqrt7-2)}\\ &=\frac{3(\sqrt7-2)}{7-4}\\ &=\sqrt7-2. \end{aligned}$$

Niveau 6 — Expressions fractionnaires

Une expression fractionnaire contenant une variable n’est définie que lorsque son dénominateur est non nul. La première étape est donc toujours de chercher les valeurs interdites.

Considérons :

$$F(x)=\frac{x^2-9}{x-3}.$$

L’expression n’est pas définie pour $x=3$. Pour toute autre valeur :

$$F(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3.$$

La simplification ne rend pas la valeur $3$ autorisée. Les expressions $\frac{x^2-9}{x-3}$ et $x+3$ sont égales sur $\mathbb R\setminus\{3\}$, mais elles n’ont pas le même domaine de définition.

Additionner et diviser des expressions fractionnaires

La méthode reste la même qu’avec des nombres : factoriser les dénominateurs, choisir un dénominateur commun, puis réduire le numérateur. Par exemple, pour $x\neq-1$ et $x\neq1$ :

$$\begin{aligned} \frac2{x-1}-\frac3{x+1} &=\frac{2(x+1)-3(x-1)}{(x-1)(x+1)}\\ &=\frac{5-x}{x^2-1}. \end{aligned}$$

Dans une fraction complexe, il faut aussi vérifier que le quotient placé au dénominateur n’est pas nul. Pour des expressions $A$, $B$, $C$ et $D$ :

$$\frac{\frac AB}{\frac CD} =\frac AB\times\frac DC,$$

à condition que $B\neq0$, $D\neq0$ et $C\neq0$.

Exercices du niveau 6

1. Déterminer le domaine de définition et simplifier $D(x)=\frac{x^2-4}{x^2-x-2}$.
2. Un élève « simplifie les $x$ » dans $\frac{x+3}{x+5}$ et obtient $\frac35$. Montrer que cette transformation est fausse.
3. Réduire $E(x)=\frac2{x-1}-\frac3{x+1}$ en une seule fraction.
4. Deux résistances strictement positives $R_1$ et $R_2$, montées en parallèle, donnent une résistance équivalente $R$ vérifiant $\frac1R=\frac1{R_1}+\frac1{R_2}$. Exprimer $R$ en fonction de $R_1$ et $R_2$.

Correction de l’exercice 1

On factorise le dénominateur :

$$x^2-x-2=(x-2)(x+1).$$

Les valeurs interdites sont donc $2$ et $-1$. Le numérateur vaut $(x-2)(x+2)$. Sur le domaine de définition :

$$D(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}=\frac{x+2}{x+1}.$$

Même après simplification, $x=2$ demeure interdit.

Correction de l’exercice 2

Dans $x+3$ et $x+5$, $x$ est un terme d’une somme, pas un facteur commun. Un contre-exemple suffit : pour $x=1$,

$$\frac{x+3}{x+5}=\frac46=\frac23\neq\frac35.$$

La prétendue simplification est donc fausse. L’expression initiale est définie pour $x\neq-5$ et ne se simplifie pas davantage.

Correction de l’exercice 3

Les valeurs $-1$ et $1$ sont interdites. Pour toute autre valeur :

$$\begin{aligned} E(x) &=\frac{2(x+1)-3(x-1)}{(x-1)(x+1)}\\ &=\frac{2x+2-3x+3}{x^2-1}\\ &=\frac{5-x}{x^2-1}. \end{aligned}$$

Correction de l’exercice 4

Comme $R_1$ et $R_2$ sont strictement positives, toutes les expressions suivantes sont définies et leur somme est non nulle :

$$\frac1R =\frac1{R_1}+\frac1{R_2} =\frac{R_1+R_2}{R_1R_2}.$$

On prend l’inverse des deux membres :

$$R=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}.$$

Le résultat est inférieur à chacune des deux résistances, ce qui fournit un contrôle physique de l’ordre de grandeur.

Niveau 7 — Approfondissement spécialité

Équations rationnelles

Pour résoudre une équation comportant des quotients, on détermine d’abord les valeurs interdites. On peut ensuite multiplier les deux membres par un dénominateur commun puisque celui-ci est non nul sur le domaine étudié.

Par exemple :

$$\frac{3x-2}{x+4}=2, \qquad x\neq-4.$$

Sur ce domaine :

$$3x-2=2(x+4) \quad\Longleftrightarrow\quad x=10.$$

La valeur obtenue est autorisée : elle est donc bien solution.

Inéquations quotient

Le signe d’un quotient dépend du signe du numérateur et du dénominateur. Pour résoudre

$$\frac{x+3}{x-1}>0,$$

on repère $-3$, qui annule le numérateur, et $1$, valeur interdite qui annule le dénominateur.

Le quotient est strictement positif à l’extérieur des deux valeurs critiques, sans inclure le zéro du numérateur ni la valeur interdite. L’ensemble des solutions est donc :

$$]-\infty;-3[\,\cup\,]1;+\infty[.$$

Un paramètre peut modifier les solutions

Dans l’équation

$$\frac{x-m}{x+1}=0,$$

la valeur $-1$ est interdite. Un quotient est nul lorsque son numérateur est nul et son dénominateur non nul. La solution attendue est $x=m$, sauf si $m=-1$. Dans ce cas, le seul zéro possible est précisément la valeur interdite, et l’équation n’a aucune solution.

Exercices du niveau 7

1. Résoudre $\frac{2x+1}{x-3}=5$.
2. Pour résoudre $\frac{x^2-1}{x-1}=0$, un élève conserve $1$ et $-1$ comme solutions. Expliquer pourquoi l’une des deux doit être rejetée.
3. Résoudre $\frac{x-2}{x+1}\leq0$.
4. Pour $f(x)=\frac1x$, simplifier le taux de variation $\dfrac{f(a+h)-f(a)}h$ et préciser les conditions portant sur $a$ et $h$.

Correction de l’exercice 1

La valeur $3$ est interdite. Sur le domaine :

$$\begin{aligned} \frac{2x+1}{x-3}=5 &\iff 2x+1=5x-15\\ &\iff 3x=16\\ &\iff x=\frac{16}{3}. \end{aligned}$$

Comme $\frac{16}{3}\neq3$, l’ensemble des solutions est $\left\{\frac{16}{3}\right\}$.

Correction de l’exercice 2

La valeur $1$ est interdite dès le départ. Pour $x\neq1$ :

$$\frac{x^2-1}{x-1} =\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} =x+1.$$

L’équation équivaut donc à $x+1=0$, d’où $x=-1$. Cette valeur est autorisée. L’unique solution est $-1$ ; $1$ n’a jamais appartenu au domaine.

Correction de l’exercice 3

Les valeurs critiques sont $-1$, interdite, et $2$, où le quotient s’annule. Le numérateur et le dénominateur sont tous deux négatifs sur $]-\infty;-1[$, de signes contraires sur $]-1;2[$, puis tous deux positifs sur $]2;+\infty[$. Ainsi :

$$\frac{x-2}{x+1}\leq0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in]-1;2].$$

Correction de l’exercice 4

Il faut $a\neq0$, $a+h\neq0$ et $h\neq0$. Sous ces conditions :

$$\begin{aligned} \frac{f(a+h)-f(a)}h &=\frac{\frac1{a+h}-\frac1a}{h}\\ &=\frac{\frac{a-(a+h)}{a(a+h)}}h\\ &=\frac{-h}{a(a+h)}\times\frac1h\\ &=-\frac1{a(a+h)}. \end{aligned}$$

La simplification par $h$ est permise précisément parce que $h\neq0$.

Exercices de synthèse

Ces trois exercices mélangent plusieurs niveaux. Avant de calculer, notez les conditions éventuelles et prévoyez le signe ou l’ordre de grandeur du résultat.

Exercice 1 — Calcul numérique

Calculer :

$$S=\dfrac{\frac{1-\frac56}{\frac23}}{\left(-\frac14\right)^2}.$$

Correction de l’exercice 1

$$\begin{aligned} S &=\frac{\frac{\frac16}{\frac23}}{\frac1{16}}\\ &=\frac16\times\frac32\times16\\ &=\frac14\times16\\ &=4. \end{aligned}$$

Le carré rend le dernier diviseur positif.

Exercice 2 — Simplification avec un paramètre

Pour un réel $m$, on considère :

$$H_m(x)=\frac{x^2-m^2}{x-m}.$$

Déterminer son domaine, simplifier son expression, puis résoudre $H_m(x)=0$ selon la valeur de $m$.

Correction de l’exercice 2

La valeur $m$ est interdite. Pour $x\neq m$ :

$$H_m(x) =\frac{(x-m)(x+m)}{x-m} =x+m.$$

L’équation donne donc $x=-m$, à condition que cette valeur ne soit pas la valeur interdite :

$$-m\neq m \quad\Longleftrightarrow\quad m\neq0.$$

Si $m\neq0$, l’unique solution est $-m$. Si $m=0$, la seule solution de l’expression simplifiée serait $x=0$, mais elle est interdite : il n’y a alors aucune solution.

Exercice 3 — Simplification et signe

Résoudre :

$$\frac{x^2-4}{x^2-x-2}\leq0.$$

Correction de l’exercice 3

Le dénominateur se factorise en $(x-2)(x+1)$. Les valeurs $2$ et $-1$ sont interdites. Sur le domaine :

$$\frac{x^2-4}{x^2-x-2} =\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)} =\frac{x+2}{x+1}.$$

Le quotient simplifié s’annule en $-2$ et change de signe en $-1$. Il est négatif sur $]-2;-1[$ et nul en $-2$. La solution est donc :

$$[-2;-1[.$$

La valeur interdite $2$ reste exclue de l’expression initiale, même si elle ne se trouve pas dans l’intervalle solution.

Ce qu’il faut retenir

Autres notes mobilisant les fractions:

• La note sur les identités remarquables (utiliser les identités remarquables pour simplifier des fractions)

• La factorisation des polynômes du second degré (factoriser pour simplifier des fractions)

• La note sur la dérivation (nombre dérivée et dérivée de fractions)