Les identités remarquables : les comprendre et les utiliser

Les identités remarquables sont trois égalités qui permettent de transformer rapidement certaines expressions algébriques très fréquentes. Elles sont utilisées dans des contextes variés et permettent surtout de simplifier des calculs ou la résolution d’équations. Au-delà de leur mémorisation, il faut surtout apprendre à les reconnaître et à les utiliser quand l’occasion se présente — et comme dit précédemment c’est très fréquent.

Note: J’ai essayé de faire quelques chose d’assez complet pour donner un apercu du grand nombre de cas d’usage des identités remarquables. Pour simplement réviser les bases, vous pouvez vous limiter aux 7 premières sections (jusqu’au exercices d’application). Pour aller plus loin et prendre un peu de recul, n’hésitez pas à continuer !

Les trois identités à connaître

Pour tous les nombres $a$ et $b$ utilisés dans cette leçon :

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ $$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$

Dans les deux premières identités, le terme du milieu est appelé le double produit : il vaut $2ab$. C’est le terme le plus souvent oublié.

Quelques simples obervsations pour aider à retenir les formules :

• dans le carré d’une différence, seul le double produit est retranché (signe $-$) ;
• le produit d’une somme ($a+b$) par une différence ($a-b$) donne une différence de deux carrés ($a^2-b^2$).

Démonstration des identités et illustration géométrique

En cas d’oubli, il est toujours possible de retrouver rapidement ces formules en appliquant la double distributivité. Pour la première identité, on a :

$$\begin{aligned} (a+b)^2 &= (a+b)(a+b) \\ &= a^2+ab+ba+b^2 \\ &= a^2+2ab+b^2. \end{aligned}$$

La même décomposition peut se voir avec l’aire d’un carré de côté $a+b$. On choisit ici $a$ et $b$ positifs afin que les longueurs représentées aient un sens géométrique.

a² ab ab b²

Pour la deuxième identité, le raisonnement est identique :

$$\begin{aligned} (a-b)^2 &= (a-b)(a-b) \\ &= a^2-ab-ab+b^2 \\ &= a^2-2ab+b^2. \end{aligned}$$

Enfin, les deux termes opposés s’annulent dans le produit d’une somme par une différence :

$$\begin{aligned} (a-b)(a+b) &= a^2+ab-ab-b^2 \\ &= a^2-b^2. \end{aligned}$$

Développer avec une identité remarquable

Développer consiste à transformer un produit en somme. Considérons :

$$A=(3x-2)^2.$$

On reconnaît la forme $(a-b)^2$ avec $a=3x$ et $b=2$. On applique alors l’identité en conservant les parenthèses pendant le calcul :

$$\begin{aligned} A &= (3x)^2-2\times(3x)\times2+2^2 \\ &= 9x^2-12x+4. \end{aligned}$$

Le carré de $3x$ vaut $9x^2$, et non $3x^2$. Le coefficient $3$ est lui aussi élevé au carré.

Factoriser en reconnaissant une structure

Factoriser consiste à transformer une somme en produit. Il faut cette fois reconnaître les termes caractéristiques d’une identité.

Prenons :

$$B=x^2+10x+25.$$

Les termes extrêmes sont des carrés : $x^2$ et $25=5^2$. Vérifions le terme du milieu :

$$2\times x\times5=10x.$$

Les trois termes correspondent donc à $a^2+2ab+b^2$, avec $a=x$ et $b=5$ :

$$B=(x+5)^2.$$

Pour une différence de deux carrés, la reconnaissance est encore plus directe :

$$\begin{aligned} C &=49x^2-16 \\ &=(7x)^2-4^2 \\ &=(7x-4)(7x+4). \end{aligned}$$

Comment choisir le bon sens

Avant de calculer, observez la forme de l’expression :

• une parenthèse au carré suggère l’une des deux premières identités ;
• deux parenthèses presque identiques, avec un signe différent, suggèrent une différence de carrés ;
• trois termes dont les extrêmes sont des carrés peuvent former un carré parfait ;
• une différence entre deux carrés peut être factorisée.

Le but du calcul guide aussi le choix. Développer aide souvent à réduire une expression ou à comparer ses coefficients. Factoriser aide à résoudre une équation produit nul, à simplifier une fraction ou à étudier un signe.

Erreurs fréquentes et contrôles rapides

Oublier le double produit

L’égalité $(a+b)^2=a^2+b^2$ est fausse en général. Avec $a=2$ et $b=3$, le membre de gauche vaut $25$, tandis que le membre de droite vaut $13$.

Donner le mauvais signe au dernier terme

Dans $(a-b)^2$, le dernier terme reste positif :

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.$$

En effet, le produit $(-b)\times(-b)$ vaut $b^2$.

Confondre différence et somme de deux carrés

La différence $a^2-b^2$ se factorise en $(a-b)(a+b)$. En revanche, la somme $a^2+b^2$ ne possède pas d’identité analogue avec les nombres étudiés jusqu’ici. L’ouverture située à la fin de la leçon explique comment les mathématiciens ont dépassé cette difficulté.

Contrôler avec une valeur simple

Après une transformation, choisir par exemple $x=0$ ou $x=1$ permet de comparer rapidement la valeur de l’expression initiale et celle du résultat.

Exercice d’application

Développer ou factoriser les expressions suivantes :

$$\begin{aligned} D&=(2x+3)^2, \\ E&=x^2-14x+49, \\ F&=25x^2-9, \\ G&=(x+4)^2-(x-4)^2. \end{aligned}$$

Prenez le temps d’indiquer l’identité utilisée et les valeurs choisies pour $a$ et $b$.

Correction

Correction de l’expression D

Pour $D$, on utilise $(a+b)^2$ avec $a=2x$ et $b=3$ :

$$D=4x^2+12x+9.$$

Correction de l’expression E

Pour $E$, on reconnaît $a^2-2ab+b^2$ avec $a=x$ et $b=7$ :

$$E=(x-7)^2.$$

Correction de l’expression F

Pour $F$, on reconnaît une différence de deux carrés :

$$F=(5x-3)(5x+3).$$

Correction de l’expression G

Pour $G$, on peut poser $a=x+4$ et $b=x-4$, puis utiliser $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ :

$$\begin{aligned} G &=\big[(x+4)-(x-4)\big]\big[(x+4)+(x-4)\big] \\ &=8\times2x \\ &=16x. \end{aligned}$$

Quelques usages concrets

Les identités remarquables peuvent aussi raccourcir des calculs qui, au premier regard, ne semblent pas être des calculs littéraux.

Faciliter un calcul mental. Les nombres $98$ et $102$ sont situés de part et d’autre de $100$. On peut donc écrire :

$$98\times102=(100-2)(100+2)=100^2-2^2=9\,996.$$

Simplifier une fraction. Pour $x\neq3$, la différence de deux carrés permet de factoriser le numérateur, puis de simplifier par $x-3$ :

$$\frac{x^2-9}{x-3} =\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} =x+3.$$

La condition $x\neq3$ est indispensable, car une fraction ne peut pas avoir un dénominateur nul.

Simplifier une fraction avec une racine carrée. On multiplie le numérateur et le dénominateur par $\sqrt5+2$. Le produit obtenu au dénominateur est une différence de deux carrés :

$$\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt5-2} &=\frac{\sqrt5+2}{(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)} \\ &=\frac{\sqrt5+2}{5-4} \\ &=\sqrt5+2. \end{aligned}$$

Pour aller plus loin : utiliser les identités remarquables pour prouver une inégalité

Les identités remarquables peuvent aussi s’utiliser dans la résolution d’inéquations. C’est à dire permettre de démontrer qu’une quantité est plus grande qu’une autre. Le point de départ est une propriété simple : le carré d’un nombre est toujours positif ou nul.

Faire apparaître un carré

Montrons par exemple que, quelle que soit la valeur de $x$ :

$$1+x^2\geq2x.$$

Le carré $(x-1)^2$ est positif ou nul. En le développant avec une identité remarquable, on obtient :

$$\begin{aligned} (x-1)^2&\geq0 \\ x^2-2x+1&\geq0 \\ 1+x^2&\geq2x. \end{aligned}$$

Plus généralement, pour démontrer que $P\geq Q$, on peut étudier la différence $P-Q$. Si une identité remarquable permet d’écrire cette différence sous la forme d’un carré, alors elle est positive ou nulle.

Par exemple, montrons que :

$$5x^2+2\geq10x-3.$$

On calcule la différence entre le membre de gauche et celui de droite :

$$\begin{aligned} (5x^2+2)-(10x-3) &=5x^2-10x+5 \\ &=5(x-1)^2 \\ &\geq0. \end{aligned}$$

Cela permet de démontrer l’inégalité recherchée.

Reconnaître une expression strictement positive

Une somme formée d’un carré et d’un nombre strictement positif ne peut jamais être nulle. Par exemple :

$$\begin{aligned} 2x^2+4x+10 &=2(x^2+2x+5) \\ &=2\left[(x+1)^2+4\right] \\ &=2(x+1)^2+8 \\ &\geq8>0. \end{aligned}$$

En effet, $(x+1)^2\geq0$. Cette écriture donne également la plus petite valeur possible de l’expression : son minimum est $8$, atteint pour $x=-1$, car $(x+1)^2$ est alors nul.

Comparer deux quantités positives à l’aide de leurs carrés

Supposons que deux quantités $A$ et $B$ soient strictement positives. La troisième identité remarquable donne :

$$A^2-B^2=(A-B)(A+B).$$

Comme $A$ et $B$ sont strictement positifs, leur somme $A+B$ l’est également. Le facteur $A+B$ étant positif, $A^2-B^2$ et $A-B$ ont donc le même signe. Ainsi, étudier le signe de $A^2-B^2$ peut se ramener à étudier celui de $A-B$ :

$$A^2-B^2\geq0 \quad\Longrightarrow\quad A-B\geq0 \quad\Longrightarrow\quad A\geq B.$$

Par exemple, supposons que l’on a déjà démontré qu’une inconnue $x>0$ vérifie :

$$(\sqrt x+1)^2-(2x)^2\geq0.$$

Alors nécéssairement on peut montrer que $\sqrt x+1\geq2x$. On pose :

$$A=\sqrt x+1 \qquad\text{et}\qquad B=2x.$$

Les deux quantités $A$ et $B$ sont strictement positives donc $A+B$ l’est également. L’inégalité donnée s’écrit $A^2-B^2\geq0$. Comme $A^2-B^2$ et $A-B$ ont le même signe, on en déduit que $A-B\geq0$, c’est-à-dire :

$$\sqrt x+1\geq2x.$$

Il est indispensable de vérifier auparavant le signe de $A$ et de $B$. Par exemple, $(-3)^2>2^2$, mais $-3<2$ : comparer uniquement les carrés ne suffit donc pas lorsque les deux nombres ne sont pas positifs.

La démarche à retenir est la suivante :

1. ramener la comparaison à une différence ;
2. développer ou factoriser à l’aide d’une identité remarquable ;
3. repérer les carrés et déterminer le signe de chaque facteur ;
4. conclure par l’inégalité recherchée.

Exercices supplémentaires

Dans les quatre premiers exercices, résoudre les équations, c’est-à-dire trouver toutes les valeurs de $x$ qui rendent chaque égalité vraie :

1. $2x+5=(x+1)^2$ ;

2. $(x+1)^2=x^2-2x+1$ ;

3. $(2x+1)^2=3x^2-3$ ;

4. $(x+3)^4=(x-1)^4$.

5. Soit $n$ un nombre entier. Montrer que $n^2-(n-1)^2=2n-1$. En déduire que la différence des carrés de deux entiers consécutifs est toujours un nombre impair.

6. Montrer que, quelle que soit la valeur de $x$, $x^2+9\geq6x$. Pour quelle valeur de $x$ y a-t-il égalité ?

Correction

Correction de l’équation 1

On développe le carré, puis on réduit :

$$\begin{aligned} 2x+5&=(x+1)^2 \\ 2x+5&=x^2+2x+1 \\ x^2&=4. \end{aligned}$$

Les solutions sont donc $x=-2$ et $x=2$.

Correction de l’équation 2

Le membre de droite est égal à $(x-1)^2$. On utilise alors la différence de deux carrés :

$$\begin{aligned} (x+1)^2-(x-1)^2&=0 \\ \big[(x+1)-(x-1)\big]\big[(x+1)+(x-1)\big]&=0 \\ 2\times2x&=0. \end{aligned}$$

La seule solution est $x=0$.

Correction de l’équation 3

On développe le membre de gauche :

$$\begin{aligned} (2x+1)^2&=3x^2-3 \\ 4x^2+4x+1&=3x^2-3 \\ x^2+4x+4&=0 \\ (x+2)^2&=0. \end{aligned}$$

La seule solution est $x=-2$.

Correction de l’équation 4

On pose $A=(x+3)^2$ et $B=(x-1)^2$. L’équation devient $A^2-B^2=0$, donc :

$$(A-B)(A+B)=0.$$

Or

$$A+B=(x+3)^2+(x-1)^2=2x^2+4x+10.$$

Pour vérifier que cette expression est toujours strictement positive, on peut faire apparaître un carré :

$$2x^2+4x+10=2\left[(x+1)^2+4\right]>0.$$

Il faut donc que $A-B=0$. Une nouvelle différence de deux carrés donne :

$$\begin{aligned} (x+3)^2-(x-1)^2&=0 \\ \big[(x+3)-(x-1)\big]\big[(x+3)+(x-1)\big]&=0 \\ 4(2x+2)&=0 \\ 8(x+1)&=0. \end{aligned}$$

La seule solution est $x=-1$.

Correction de l’exercice 5

On reconnaît une différence de deux carrés :

$$\begin{aligned} n^2-(n-1)^2 &=\big[n-(n-1)\big]\big[n+(n-1)\big] \\ &=1\times(2n-1) \\ &=2n-1. \end{aligned}$$

Or $2n-1=2(n-1)+1$. Comme $n-1$ est un nombre entier, $2(n-1)+1$ est de la forme $2k+1$ avec $k$ entier : c’est donc un nombre impair.

Correction de l’exercice 6

On ramène l’inégalité à l’étude d’une différence, puis on fait apparaître un carré :

$$\begin{aligned} (x^2+9)-6x &=x^2-6x+9 \\ &=(x-3)^2 \\ &\geq0. \end{aligned}$$

On en déduit que $x^2+9\geq6x$. Il y a égalité lorsque $(x-3)^2=0$, c’est-à-dire pour $x=3$.

Problème : portée d’un tir

Problème difficile. Cet exercice est difficile pour un élève de troisième ou de seconde. Il est conseillé de le traiter avec l’aide d’un enseignant. Durée indicative : de 1 h 30 à 2 h.

Un archer tire une flèche depuis une tour. Il s’interroge sur l’angle de tir à choisir afin que sa flèche aille le plus loin possible. Au moment du tir, la flèche se trouve à $45\,\mathrm{m}$ au-dessus du sol : cette hauteur comprend celle de la tour et la hauteur à laquelle l’archer tient son arc. Sa position à l’instant $t$, exprimé en secondes, est repérée par sa distance horizontale $x(t)$ et son altitude $z(t)$, exprimées en mètres. L’angle de tir $\alpha$ vérifie $0\leq\alpha<\frac{\pi}{2}$ : il est donc strictement inférieur à $90^\circ$.

La vitesse initiale de la flèche est de $40\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ et on prend $g=10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ pour l’intensité de la pesanteur. Dans le modèle proposé, qui néglige notamment les frottements de l’air, les coordonnées de la flèche sont :

$$\begin{aligned} x(t)&=40\cos(\alpha)t, \\ z(t)&=-5t^2+40\sin(\alpha)t+45. \end{aligned}$$

On appelle portée du tir, et on note $R(\alpha)$, la distance horizontale entre le point de départ de la flèche et le point où elle touche le sol.

1. Déterminer le temps de vol de la flèche, c’est-à-dire l’instant auquel elle touche le sol : $z(t)=0$. On pourra se ramener à une égalité de la forme $(t-a)^2=c$, où $a$ est un nombre et $c$ un nombre positif.

2. En déduire la portée du tir $R(\alpha)$ en fonction de $\alpha$.

3. Pour déterminer l’angle qui maximise la portée, on pose $u=\tan(\alpha)$ et on admet que :

   $$\cos(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{1+u^2}} \qquad\text{et}\qquad \sin(\alpha)=\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}.$$

   a. Montrer que :

   $$\frac{R(\alpha)}{40} =\frac{4u+\sqrt{25u^2+9}}{1+u^2}.$$

   b. En utilisant le fait que le carré d’un nombre est toujours positif ou nul, démontrer que :

   $$1+u^2\geq2u.$$

   c. En déduire que $5(1+u^2)-4u$ est strictement positif.

   d. On pose :

   $$A=5(1+u^2)-4u \qquad\text{et}\qquad B=\sqrt{25u^2+9}.$$

   Démontrer l’identité suivante :

   $$A^2-B^2 =(5u-4)^2(u^2+1).$$

   On pourra développer d’abord le carré, réduire les termes semblables, puis regrouper les termes afin de faire apparaître un facteur commun.

   En déduire que $A^2-B^2\geq0$.

   e. En utilisant une identité remarquable et le signe de $A$ et de $B$, en déduire que :

   $$\sqrt{25u^2+9}\leq5(1+u^2)-4u.$$

   f. En déduire que :

   $$\frac{4u+\sqrt{25u^2+9}}{1+u^2}\leq5,$$

   puis que $R(\alpha)\leq200\,\mathrm{m}$.

   g. Déterminer la valeur de $u$ pour laquelle l’égalité est atteinte, puis l’angle correspondant en radians et en degrés.

   On pourra se ramener à une équation de la forme $A^2-B^2=0$ et utiliser le résultat de la question d.

Correction

Correction de la question 1 — Temps de vol

Pour alléger les calculs, posons $s=\sin(\alpha)$. La flèche touche le sol lorsque :

$$\begin{aligned} -5t^2+40st+45&=0 \\ t^2-8st-9&=0 \\ (t-4s)^2&=16s^2+9. \end{aligned}$$

On obtient donc :

$$t=4s\pm\sqrt{16s^2+9}.$$

Comme l’angle est compris entre $0$ et $\frac{\pi}{2}$, le nombre $s$ est positif ou nul. De plus, $\sqrt{16s^2+9}>4s$ : la solution associée au signe moins est donc négative et ne correspond pas au temps de vol. Le temps de vol est :

$$t_{\mathrm{vol}} =4\sin(\alpha)+\sqrt{16\sin^2(\alpha)+9}\,\mathrm{s}.$$

Correction de la question 2 — Portée du tir

La portée $R(\alpha)$ est la distance horizontale parcourue au moment où la flèche touche le sol :

$$\begin{aligned} R(\alpha) &=x\left(t_{\mathrm{vol}}\right) \\ &=40\cos(\alpha) \left(4\sin(\alpha)+\sqrt{16\sin^2(\alpha)+9}\right)\,\mathrm{m}. \end{aligned}$$

Correction de la question 3.a — Exprimer la portée en fonction de u

3. Angle qui maximise la portée

Pour $0\leq\alpha<\frac{\pi}{2}$, le nombre $u=\tan(\alpha)$ est positif ou nul.

En utilisant les relations données dans l’énoncé :

$$\begin{aligned} \frac{R(\alpha)}{40} &=\cos(\alpha) \left(4\sin(\alpha)+\sqrt{16\sin^2(\alpha)+9}\right) \\ &=\frac{1}{\sqrt{1+u^2}} \left( \frac{4u}{\sqrt{1+u^2}} +\sqrt{\frac{16u^2}{1+u^2}+9} \right) \\ &=\frac{1}{\sqrt{1+u^2}} \left( \frac{4u}{\sqrt{1+u^2}} +\sqrt{\frac{25u^2+9}{1+u^2}} \right) \\ &=\frac{4u+\sqrt{25u^2+9}}{1+u^2}. \end{aligned}$$

Correction de la question 3.b — Démontrer l’inégalité

Le carré d’un nombre est toujours positif ou nul. En appliquant cette propriété au nombre $u-1$, puis en utilisant l’identité $(u-1)^2=u^2-2u+1$, on obtient :

$$\begin{aligned} (u-1)^2&\geq0 \\ u^2-2u+1&\geq0 \\ 1+u^2&\geq2u. \end{aligned}$$

Correction de la question 3.c — Déterminer le signe

On multiplie l’inégalité obtenue à la question précédente par $5$, qui est positif :

$$5(1+u^2)\geq10u.$$

On soustrait ensuite $4u$ aux deux membres :

$$\begin{aligned} 5(1+u^2)-4u &\geq10u-4u \\ &=6u \\ &\geq0. \end{aligned}$$

Si $u>0$, cette expression est strictement positive. Si $u=0$, elle vaut $5$ et reste donc strictement positive.

Correction de la question 3.d — Comparer A² et B²

Posons :

$$A=5(1+u^2)-4u \qquad\text{et}\qquad B=\sqrt{25u^2+9}.$$

Calculons $A^2-B^2$ étape par étape. On commence par développer le carré en utilisant $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ :

$$\begin{aligned} A^2-B^2 &=\left[5(1+u^2)-4u\right]^2-(25u^2+9) \\ &=25(1+u^2)^2-40u(1+u^2)+16u^2-25u^2-9. \end{aligned}$$

On développe ensuite $(1+u^2)^2$ et le produit $-40u(1+u^2)$ :

$$\begin{aligned} A^2-B^2 &=25(1+2u^2+u^4)-40u-40u^3+16u^2-25u^2-9 \\ &=25+50u^2+25u^4-40u-40u^3+16u^2-25u^2-9 \\ &=25u^4-40u^3+41u^2-40u+16. \end{aligned}$$

Pour factoriser cette expression, on partage $41u^2$ en $16u^2+25u^2$, puis on regroupe les termes :

$$\begin{aligned} A^2-B^2 &=\left(25u^4-40u^3+16u^2\right) +\left(25u^2-40u+16\right) \\ &=u^2\left(25u^2-40u+16\right) +\left(25u^2-40u+16\right) \\ &=(u^2+1)\left(25u^2-40u+16\right) \\ &=(u^2+1)(5u-4)^2. \end{aligned}$$

Le facteur $(5u-4)^2$ est un carré, donc il est positif ou nul. Le facteur $u^2+1$ est strictement positif. Leur produit est donc positif ou nul. Avec les notations $A$ et $B$, l’identité précédente permet ainsi d’affirmer que :

$$A^2-B^2\geq0.$$

Correction de la question 3.e — Comparer A et B

Passons de la comparaison des carrés à celle de $A$ et $B$ en utilisant la troisième identité remarquable :

$$A^2-B^2=(A-B)(A+B).$$

Nous avons déjà montré que $A>0$. Le nombre $B$ est lui aussi positif, car il est la racine carrée d’un nombre positif. Par conséquent, $A+B>0$. Le facteur $A+B$ étant positif, $A^2-B^2$ et $A-B$ ont le même signe.

Comme $A^2-B^2\geq0$, on en déduit directement :

$$A-B\geq0.$$

En remplaçant $A$ et $B$ par leurs expressions, on obtient :

$$5(1+u^2)-4u-\sqrt{25u^2+9}\geq0.$$

Puis, finalement, l’expression recherchée :

$$5(1+u^2)-4u\geq\sqrt{25u^2+9}.$$

Correction de la question 3.f — Majorer la portée

En ajoutant $4u$ aux deux membres puis en divisant par $1+u^2$, qui est strictement positif, on obtient :

$$\frac{4u+\sqrt{25u^2+9}}{1+u^2} \leq5, \qquad\text{donc}\qquad R(\alpha)\leq200.$$

Correction de la question 3.g — Trouver le cas d’égalité

D’après la question a, la portée atteint $200\,\mathrm{m}$ lorsque :

$$\frac{4u+\sqrt{25u^2+9}}{1+u^2}=5.$$

Comme $1+u^2$ est strictement positif, on peut multiplier les deux membres par $1+u^2$ :

$$\begin{aligned} 4u+\sqrt{25u^2+9}&=5(1+u^2) \\ \sqrt{25u^2+9}&=5(1+u^2)-4u. \end{aligned}$$

D’après les définitions données à la question d, le membre de gauche est $B$ et celui de droite est $A$. Le cas d’égalité correspond donc à $A=B$, puis à :

$$A^2-B^2=0.$$

Or la question d a permis d’établir que :

$$A^2-B^2=(5u-4)^2(u^2+1).$$

On doit donc résoudre :

$$(5u-4)^2(u^2+1)=0.$$

Comme $u^2+1$ est toujours strictement positif, seul le premier facteur peut être nul :

$$\begin{aligned} (5u-4)^2&=0 \\ 5u-4&=0 \\ u&=\frac45. \end{aligned}$$

Comme $u=\tan(\alpha)$, on obtient :

$$\alpha=\arctan\left(\frac45\right) \approx0{,}675\ \text{rad} \approx38{,}7^\circ.$$

La portée maximale vaut alors :

$$R_{\max}=200\,\mathrm{m}.$$

Ouverture pour les curieux (hors-programme)

Au vu des trois identités remarquables, on peut se demander pourquoi il n’existe pas d’identité similaire pour une somme de deux carrés $a^2+b^2$. On aurait ainsi une formule pour toutes les combinaisons de signes : $(a+b)^2$, $(a-b)^2$, $a^2+b^2$ et $a^2-b^2$.

Pour essayer de factoriser $a^2+b^2$, on peut d’abord chercher un nombre $\lambda$ tel que :

$$(a+\lambda b)^2=a^2+b^2.$$

Or la première identité remarquable donne :

$$(a+\lambda b)^2=a^2+2\lambda ab+\lambda^2b^2.$$

Dans $a^2+b^2$, il n’y a aucun terme en $ab$. Pour que le terme $2\lambda ab$ disparaisse quelles que soient les valeurs de $a$ et $b$, il faudrait donc choisir $\lambda=0$. Mais le terme $\lambda^2b^2$ disparaîtrait alors lui aussi. Cette première approche est donc une impasse.

Essayons plutôt deux facteurs qui ne diffèrent que par un signe :

$$(a+\lambda b)(a-\lambda b)=a^2-\lambda^2b^2.$$

Pour obtenir $a^2+b^2$, il faudrait que $-\lambda^2=1$, c’est-à-dire :

$$\lambda^2=-1.$$

Ce résultat peut surprendre : jusqu’ici, la racine carrée n’a été définie que pour des nombres positifs ou nuls. En effet, lorsqu’un nombre habituel est multiplié par lui-même, le résultat est toujours positif ou nul. Par exemple, $(-2)\times(-2)=4$. Parmi les nombres étudiés au collège et en seconde, aucun nombre n’a donc pour carré $-1$.

Pour dépasser cette impossibilité, les mathématiciens ont introduit un nouveau nombre, appelé nombre imaginaire et noté $i$, tel que :

$$i=\sqrt{-1},\qquad\text{ce qui signifie que}\qquad i^2=-1.$$

Les nombres construits à l’aide de $i$ sont appelés les nombres complexes. Le nombre $\lambda$ peut alors valoir $i$ ou $-i$. En choisissant $\lambda=i$, on obtient :

$$(a+ib)(a-ib)=a^2-(ib)^2=a^2+b^2.$$

On a donc réussi à factoriser la somme de deux carrés, mais seulement en utilisant ce nouveau nombre $i$.

Les nombres complexes seront étudiés en terminale générale par les élèves qui suivent l’option mathématiques expertes.