Factoriser un polynôme du second degré : méthodes et interprétation graphique

Dans cette note, nous allons voir dans le détail comment factoriser un polynôme du second degré de façon générale et donner une interprétation graphique de ces résultats. C’est une méthode très importante à bien maîtriser, car elle sera régulièrement utilisée dans d’autres parties du programme en première et en terminale, ainsi que dans le supérieur. Elle permet en particulier de résoudre les équations du second degré, c’est-à-dire d’en trouver les racines, mais aussi d’étudier le signe de la fonction associée.

Pour rappel, une fonction polynôme du second degré $P$ (souvent appelée trinôme du second degré, car son expression développée comporte trois termes) est définie sur $\mathbb R$ par :

$$P(x)=ax^2+bx+c$$

où $a\neq 0$, et $a$, $b$ et $c$ sont des coefficients réels fixes.

La courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré est une parabole. La plus simple, étudiée en seconde, est la fonction $y=x^2$. La forme et la position de la parabole dépendent des valeurs des coefficients $a$, $b$ et $c$ comme vous pouvez le tester avec le graphique interactif ci-dessous:

FIG. 00 · EXPLORATION

Modifier une parabole

Faites varier les coefficients et observez comment la parabole évolue.

Réinitialiser

a

1

b

0

c

−1

y = x² − 1

Trois formes pour une même parabole

Un même polynôme du second degré peut être écrit sous trois formes. Elles ne donnent pas immédiatement les mêmes informations.

Il n’existe pas toujours de forme factorisée avec des nombres réels. Nous verrons que son existence dépend du nombre d’intersections entre la parabole et l’axe des abscisses.

Passer de la forme développée à la forme canonique

Nous cherchons à réécrire $P(x)=ax^2+bx+c$ sous la forme :

$$P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta.$$

Cette écriture est appelée forme canonique. Pour la faire apparaître, on commence par mettre $a$ en facteur :

$$P(x)=a\left(x^2+\frac ba x+\frac ca\right).$$

Préparer une identité remarquable

On utilise l’identité $(u+v)^2=u^2+2uv+v^2$. Dans $x^2+\frac ba x$, on reconnaît les deux premiers termes du carré obtenu avec :

$$u=x \qquad\text{et}\qquad v=\frac{b}{2a},$$

car :

$$2uv=2\times x\times\frac{b}{2a}=\frac ba x.$$

Le carré complet contient également le terme $v^2=\frac{b^2}{4a^2}$. On l’ajoute puis on le retranche pour ne pas modifier la valeur de l’expression :

$$\begin{aligned} x^2+\frac ba x &=x^2+\frac ba x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}\\ &=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}. \end{aligned}$$

En remplaçant dans $P(x)$ puis en mettant les deux derniers termes au même dénominateur, on obtient :

$$\begin{aligned} P(x) &=a\left[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{b^2}{4a^2}+\frac ca \right]\\ &=a\left[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{b^2-4ac}{4a^2} \right]. \end{aligned}$$

Définir le discriminant

Attention. Dans les crochets, le terme est $-\frac{\Delta}{4a^2}$. Après multiplication par $a$, l’ordonnée du sommet est $\beta=-\frac{\Delta}{4a}$.

FIG. 01 · FORME CANONIQUE

Déplacer et déformer la parabole

Faites varier a, α et β, puis observez l’ouverture et les déplacements de la parabole.

Réinitialiser

a

1

α

1

β

−1

y = (x − 1)² − 1

Sommet S(1 ; −1). Axe de symétrie : x = 1. La parabole est ouverte vers le haut.

Exemple : passer de la formule au dessin

Considérons :

$$P(x)=2(x-3)^2-4.$$

On lit $a=2$, $\alpha=3$ et $\beta=-4$. La parabole est donc ouverte vers le haut, son sommet est $S(3;-4)$ et son axe de symétrie est $x=3$. Pour compléter le dessin, on peut calculer deux valeurs symétriques :

$$P(2)=P(4)=-2.$$

Les points $(2;-2)$ et $(4;-2)$ se trouvent à la même hauteur parce que leurs abscisses sont à la même distance de l’axe $x=3$.

Racines et intersections avec l’axe des abscisses

Un nombre réel $x_0$ est une racine de $P$ lorsque :

$$P(x_0)=0.$$

Sur la courbe, le point d’abscisse $x_0$ a alors pour ordonnée zéro. Il appartient donc à l’axe des abscisses. Chercher les racines revient à chercher les intersections de la parabole avec cet axe.

Si deux racines $x_1$ et $x_2$ existent, la forme factorisée est :

$$P(x)=a(x-x_1)(x-x_2).$$

On vérifie immédiatement que $P(x_1)=0$ et $P(x_2)=0$, puisqu’un des deux facteurs s’annule à chaque fois.

Factoriser sans discriminant lorsque c’est possible

Le discriminant fournit une méthode générale, mais ce n’est pas toujours la méthode la plus courte. Il faut d’abord chercher une structure familière. La leçon sur les identités remarquables permet de réviser ces techniques avant de poursuivre.

Mettre un facteur commun en évidence

$$3x^2-12x=3x(x-4).$$

Les racines sont $0$ et $4$. Graphiquement, la parabole coupe l’axe des abscisses à l’origine et au point d’abscisse $4$. Son axe de symétrie passe au milieu, donc par $x=2$.

Reconnaître une identité remarquable

$$x^2-10x+25=(x-5)^2.$$

Le seul zéro est $5$, compté deux fois. Graphiquement, le sommet $(5;0)$ est posé sur l’axe des abscisses : la parabole touche l’axe sans le traverser.

Reconnaître une différence de deux carrés

$$4x^2-9=(2x)^2-3^2=(2x-3)(2x+3).$$

Les racines sont $-\frac32$ et $\frac32$. Elles sont opposées : la parabole est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, ce que l’absence de terme en $x$ permettait déjà de prévoir.

Résoudre et factoriser grâce au discriminant

Le passage à la forme canonique est déjà établi. Il donne directement :

$$\begin{aligned} P(x)=0 &\iff a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{\Delta}{4a^2}\right]=0\\ &\iff \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{\Delta}{4a^2}=0\\ &\iff \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 =\frac{\Delta}{4a^2}. \end{aligned}$$

On a utilisé $a\neq0$ pour supprimer le facteur $a$. En multipliant la dernière égalité par $4a^2$, il reste simplement :

$$(2ax+b)^2=\Delta.$$

Le membre de gauche est un carré : il est toujours positif ou nul. Le nombre de solutions dépend donc du signe de $\Delta$.

Si $\Delta>0$ : deux racines distinctes

Si $\Delta>0$, $\sqrt\Delta$ existe et est strictement positif. Ainsi :

$$2ax+b=-\sqrt\Delta \qquad\text{ou}\qquad 2ax+b=\sqrt\Delta.$$

En isolant $x$ dans les deux équations, on trouve :

$$x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a} \qquad\text{et}\qquad x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a},$$

La différence de deux carrés présente dans la forme canonique permet alors de factoriser :

$$P(x)=a(x-x_1)(x-x_2).$$

Graphiquement, la parabole coupe l’axe des abscisses aux points d’abscisses $x_1$ et $x_2$.

Si $\Delta=0$ : une racine double

Si $\Delta=0$, l’équation devient :

$$(2ax+b)^2=0.$$

Un carré est nul seulement si sa base est nulle. L’unique solution est donc :

$$x_0=-\frac{b}{2a},$$

La factorisation s’écrit :

$$P(x)=a(x-x_0)^2.$$

Graphiquement, le sommet $(x_0;0)$ appartient à l’axe des abscisses. La parabole est tangente à cet axe.

Si $\Delta<0$ : aucune racine réelle

Si $\Delta<0$, l’équation $(2ax+b)^2=\Delta$ demanderait qu’un carré soit égal à un nombre strictement négatif. C’est impossible dans $\mathbb R$. Le polynôme n’a donc aucune racine réelle et ne se factorise pas en facteurs du premier degré dans $\mathbb R$.

Graphiquement, la parabole ne rencontre pas l’axe des abscisses.

Le discriminant vu sur la parabole

La forme canonique obtenue précédemment est :

$$P(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}.$$

L’ordonnée du sommet vaut donc $\beta=-\frac{\Delta}{4a}$.

• Lorsque $\Delta>0$, $\beta$ et $a$ sont de signes opposés. Si la parabole est ouverte vers le haut, son sommet est sous l’axe ; si elle est ouverte vers le bas, son sommet est au-dessus. Dans les deux cas, elle coupe l’axe deux fois.
• Lorsque $\Delta=0$, $\beta=0$. Le sommet est sur l’axe.
• Lorsque $\Delta<0$, $\beta$ et $a$ ont le même signe. Une parabole ouverte vers le haut reste au-dessus de l’axe ; une parabole ouverte vers le bas reste en dessous.

Le discriminant n’est donc pas seulement un calcul : il indique la position du sommet par rapport à l’axe des abscisses.

FIG. 03 · DISCRIMINANT

Faire varier le discriminant

Faites varier Δ et α, puis observez la position de la parabole et ses intersections avec l’axe des abscisses.

Réinitialiser

Δ

4

α

0

y = (x − α)² − Δ/4 = (x)² − 1

α = 0 et Δ = 4 : deux racines, x₁ = −1 et x₂ = 1.

Synthèse

Exemple complet : passer d’une forme à l’autre

Étudions :

$$P(x)=x^2-2x-3.$$

On identifie $a=1$, $b=-2$ et $c=-3$. Le discriminant vaut :

$$\Delta=(-2)^2-4\times1\times(-3)=4+12=16.$$

Comme $\Delta>0$, il existe deux racines :

$$x_1=\frac{2-4}{2}=-1 \qquad\text{et}\qquad x_2=\frac{2+4}{2}=3.$$

La forme factorisée est donc :

$$P(x)=(x+1)(x-3).$$

Pour obtenir la forme canonique, on peut compléter le carré :

$$P(x)=x^2-2x+1-4=(x-1)^2-4.$$

Les trois formes donnent des informations complémentaires :

• $x^2-2x-3$ donne $P(0)=-3$ ;
• $(x-1)^2-4$ donne le sommet $S(1;-4)$ et l’axe $x=1$ ;
• $(x+1)(x-3)$ donne les racines $-1$ et $3$.

Le milieu des deux racines est :

$$\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-1+3}{2}=1.$$

On retrouve bien l’abscisse du sommet et l’axe de symétrie.

Somme et produit des racines

Supposons que $P$ possède deux racines réelles $x_1$ et $x_2$, éventuellement égales. En développant sa forme factorisée, on obtient :

$$\begin{aligned} P(x) &=a(x-x_1)(x-x_2)\\ &=a\left[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2\right]\\ &=ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2. \end{aligned}$$

En identifiant les coefficients avec $ax^2+bx+c$, on trouve :

Ces relations peuvent éviter le calcul du discriminant lorsque les racines sont des nombres simples. Pour $x^2-7x+12$, on cherche deux nombres dont la somme vaut $7$ et le produit $12$. Les nombres $3$ et $4$ conviennent, donc :

$$x^2-7x+12=(x-3)(x-4).$$

Graphiquement, l’axe de symétrie se situe au milieu des racines :

$$\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{b}{2a}.$$

Ici, il a pour équation $x=3{,}5$. La relation $c=ax_1x_2$ relie également le produit des racines à l’ordonnée à l’origine.

Choisir une forme adaptée

Avant de calculer, il faut regarder ce que demande le problème.

• La forme développée permet d’identifier $a$, $b$, $c$ et de lire l’ordonnée à l’origine $P(0)=c$.
• La forme canonique permet de trouver le sommet, l’axe de symétrie, les variations et de construire la parabole.
• La forme factorisée permet de lire les racines et facilite l’étude du signe.

Pour factoriser, on peut suivre cette démarche :

1. rechercher un facteur commun ou une identité remarquable ;
2. tester une racine évidente ou chercher deux racines entières par leur somme et leur produit ;
3. si aucune structure simple n’apparaît, calculer le discriminant ;
4. écrire la forme factorisée lorsqu’elle existe ;
5. développer le résultat pour le vérifier ;
6. contrôler que les racines obtenues correspondent aux intersections de la parabole avec l’axe des abscisses.

Étudier le signe grâce à la courbe

Graphiquement :

• $P(x)>0$ lorsque la parabole est au-dessus de l’axe des abscisses ;
• $P(x)<0$ lorsqu’elle est en dessous ;
• $P(x)=0$ aux points d’intersection avec cet axe.

Cas de deux racines

Dans ce tableau, les premières et dernières cases correspondent aux intervalles $]-\infty;x_1[$ et $]x_2;+\infty[$ ; la case centrale correspond à $]x_1;x_2[$. Les zéros sont placés sous $x_1$ et $x_2$.

Par exemple, pour $P(x)=(x+1)(x-3)$, on a $a=1>0$, $x_1=-1$ et $x_2=3$. On lit donc les signes $+$, $-$, $+$ de gauche à droite.

Cas d’une racine double ou d’aucune racine

• Si $\Delta=0$, $P$ est du signe de $a$ sur $\mathbb R$, sauf en $x_0=-\frac{b}{2a}$ où il s’annule. Le signe ne change pas en traversant la racine double.
• Si $\Delta<0$, $P$ ne s’annule jamais : il est du signe de $a$ sur tout $\mathbb R$.

Erreurs fréquentes et contrôles rapides

Confondre racine et facteur

Si $3$ est une racine, le facteur correspondant est $x-3$, et non $x+3$. Inversement, le facteur $x+2$ s’annule pour $x=-2$.

Oublier le coefficient $a$

Pour $P(x)=2x^2-2$, les racines sont $-1$ et $1$, mais :

$$P(x)=2(x-1)(x+1),$$

et non $(x-1)(x+1)$. Le développement permet de repérer immédiatement l’oubli.

Mal calculer $b^2$

Si $b=-3$, alors $b^2=(-3)^2=9$. Les parenthèses sont indispensables pendant le calcul du discriminant.

Confondre les deux expressions liées au discriminant

Dans l’écriture où $a$ reste devant les crochets :

$$P(x)=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{\Delta}{4a^2}\right].$$

Dans la forme canonique, après distribution de $a$, l’ordonnée du sommet est :

$$\beta=-\frac{\Delta}{4a}.$$

Contrôler avec la courbe

Une factorisation annoncée avec deux facteurs distincts doit correspondre à deux intersections. Un carré parfait doit correspondre à une parabole tangente à l’axe. Le graphique ne remplace pas la preuve, mais il permet de détecter une réponse incohérente.

Exercices d’application

Exercice 1 — Lire et factoriser un trinôme

Pour $P(x)=-2x^2+4x+6$, déterminer $a$, $b$ et $c$, le sens d’ouverture, l’ordonnée à l’origine et l’équation de l’axe de symétrie. Factoriser $P$ et en déduire les intersections avec l’axe des abscisses.

Voir la correction de l’exercice 1

On lit $a=-2$, $b=4$ et $c=6$. Comme $a<0$, la parabole est ouverte vers le bas. Elle coupe l’axe des ordonnées au point $(0;6)$. Son axe de symétrie est :

$$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{-4}=1.$$

On factorise d’abord par $-2$ :

$$\begin{aligned} P(x)&=-2(x^2-2x-3)\\ &=-2(x+1)(x-3). \end{aligned}$$

Les racines sont $-1$ et $3$. La parabole coupe donc l’axe des abscisses aux points $(-1;0)$ et $(3;0)$. Leur milieu a pour abscisse $1$, ce qui confirme l’axe trouvé.

Exercice 2 — Factoriser directement

Factoriser les trois expressions suivantes :

$$A(x)=3x^2-12x, \qquad B(x)=x^2-10x+25, \qquad C(x)=4x^2-9.$$

Pour chacune, indiquer les intersections ou le point de contact avec l’axe des abscisses.

Voir la correction de l’exercice 2

Pour $A$, on met $3x$ en facteur :

$$A(x)=3x(x-4).$$

Les intersections ont pour abscisses $0$ et $4$.

Pour $B$, on reconnaît un carré parfait :

$$B(x)=(x-5)^2.$$

La racine $5$ est double : la parabole est tangente à l’axe au point $(5;0)$.

Pour $C$, on utilise une différence de deux carrés :

$$C(x)=(2x-3)(2x+3).$$

Les intersections ont pour abscisses $-\frac32$ et $\frac32$.

Exercice 3 — Utiliser le discriminant

Factoriser $D(x)=2x^2+x-3$ en utilisant le discriminantGlossaire · PremièreDiscriminantLe discriminant est le nombre Δ = b² − 4ac associé au trinôme ax² + bx + c.Son signe détermine si le trinôme possède deux racines réelles distinctes, une racine réelle double ou aucune racine réelle.Pour x² − 5x + 6, le discriminant vaut 1 : le trinôme possède donc deux racines réelles.Fermer. Donner les coordonnées des intersections de sa parabole avec l’axe des abscisses.

Voir la correction de l’exercice 3

Pour $D(x)=2x^2+x-3$, on a $a=2$, $b=1$ et $c=-3$ :

$$\Delta=1^2-4\times2\times(-3)=25.$$

Les racines sont :

$$x_1=\frac{-1-5}{4}=-\frac32 \qquad\text{et}\qquad x_2=\frac{-1+5}{4}=1.$$

Ainsi :

$$D(x)=2\left(x+\frac32\right)(x-1)=(2x+3)(x-1).$$

La parabole coupe l’axe des abscisses aux points $\left(-\frac32;0\right)$ et $(1;0)$.

Exercice 4 — Expliquer l’absence de racine

Pour $E(x)=x^2+2x+5$, calculer le discriminant, donner sa forme canoniqueGlossaire · PremièreForme canoniqueLa forme canonique d’un trinôme est l’écriture a(x − α)² + β.Elle permet de lire directement le sommet S(α ; β), l’axe de symétrie x = α et le sens d’ouverture donné par le signe de a.Dans 2(x − 3)² − 4, le sommet de la parabole est S(3 ; −4).Fermer, puis expliquer graphiquement pourquoi ce polynôme ne possède aucune racine réelle.

Voir la correction de l’exercice 4

On calcule :

$$\Delta=2^2-4\times1\times5=-16.$$

Il n’existe donc aucune racine réelle. En complétant le carré :

$$E(x)=(x+1)^2+4.$$

Le sommet est $S(-1;4)$ et la parabole est ouverte vers le haut. Son point le plus bas a une ordonnée strictement positive : toute la parabole reste donc au-dessus de l’axe des abscisses.

Exercice 5 — Utiliser la somme et le produit des racines

Sans calculer le discriminant, factoriser $F(x)=x^2-7x+12$ en utilisant la somme et le produit des racinesGlossaire · PremièreRacine d’un polynômeUne racine d’un polynôme P est un nombre x₀ pour lequel P(x₀) = 0.Graphiquement, les racines sont les abscisses des points où la courbe représentative rencontre l’axe des abscisses.Si P(x) = (x − 2)(x + 1), ses racines sont 2 et −1.Fermer. Déterminer l’axe de symétrie.

Voir la correction de l’exercice 5

On cherche deux nombres dont la somme vaut $7$ et le produit $12$. Ce sont $3$ et $4$, donc :

$$F(x)=(x-3)(x-4).$$

L’axe de symétrie passe au milieu des deux racines :

$$x=\frac{3+4}{2}=\frac72=3{,}5.$$

Exercice 6 — Retrouver un polynôme à partir de sa parabole

Une parabole est ouverte vers le bas et coupe l’axe des abscisses en $-2$ et $4$. Le point $(0;8)$ appartient à la courbe. Déterminer la forme factorisée du polynôme, puis étudier son signe.

Voir la correction de l’exercice 6

Les racines $-2$ et $4$ donnent d’abord :

$$P(x)=a(x+2)(x-4).$$

Le point $(0;8)$ appartient à la courbe, donc :

$$8=P(0)=a\times2\times(-4)=-8a,$$

d’où $a=-1$. Ainsi :

$$P(x)=-(x+2)(x-4).$$

La parabole est ouverte vers le bas. Elle se trouve au-dessus de l’axe entre ses racines et en dessous à l’extérieur :

$$\begin{aligned} P(x)&>0 &&\text{si }-2<x<4,\\ P(x)&=0 &&\text{si }x=-2\text{ ou }x=4,\\ P(x)&<0 &&\text{si }x<-2\text{ ou }x>4. \end{aligned}$$