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SUJET OFFICIEL · 26-MATSPEGEJA1

Épreuve anticipée de mathématiques 2026 — Asie — spécialité mathématiques

Le QCM et les trois exercices sont réunis dans l’ordre du sujet original.

Durée officielle
2 h
Barème
20 points
Calculatrice
Interdite
Parcours
Spécialité maths

L’épreuve comporte une première partie d’automatismes sur 6 points et une deuxième partie sur 14 points. Les corrections proposées ne sont pas des corrigés officiels.

MODE DE TRAVAIL

Vue complète du sujet

Temps restant

Première partie — Automatismes — QCM

Pour cette partie, aucune justification n’est demandée et une seule réponse est possible par question. Une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève aucun point.

Répondez aux 8 questions sans calculatrice. Le chronomètre démarre uniquement lorsque vous lancez le quiz.

Questions
8
Temps indicatif
8 min
Barème
6 points

Les réponses restent dans votre navigateur et ne sont pas enregistrées.

Afficher le QCM sous forme de sujet

  1. Question 1. La fonction ff est représentée sur [−5;4][-5;4] dans le repère ci-dessous. Sur cet intervalle, l’équation f(x)=−1f(x)=-1 admet :

    Représentation graphique de l’énoncé-5-4-3-2-11234-5-4-3-2-1123456
    1. Zéro solution
    2. Une seule solution
    3. Deux solutions
    4. Trois solutions

  2. Question 2. Multiplier un nombre par 0,60{,}6 revient à le diminuer de :

    1. 4 %
    2. 6 %
    3. 40 %
    4. 60 %

  3. Question 3. L’équation réduite de la droite représentée ci-dessous est :

    Représentation graphique de l’énoncé-112345678-1123
    1. y=−2x+6y=-2x+6
    2. y=6x+2y=6x+2
    3. y=−13x+2y=-\frac13x+2
    4. y=−3x+2y=-3x+2

  4. Question 4. Un club de sport possède 200 adhérents répartis comme l’indique le tableau ci-dessous. On choisit au hasard un adhérent du club. On note EE l’événement « la personne choisie est un enfant » et VV l’événement « la personne choisie pratique le volley-ball ». La probabilité PE(V)P_E(V) est égale à :

    Répartition des adhérents du club
    CatégorieVolley-ballBasket-ballTotal
    Enfant8050130
    Adulte304070
    Total11090200
    1. 813\frac{8}{13}
    2. 811\frac{8}{11}
    3. 820\frac{8}{20}
    4. 1113\frac{11}{13}

  5. Question 5. On considère l’arbre de probabilités ci-dessous. Calculer P(B)P(B).

    Arbre de probabilitésLes premières branches conduisent aux événements A et contraire de A, avec les probabilités 0,4 et 0,6. Chaque branche se divise ensuite entre B et son événement contraire.0,30,70,10,90,40,6BBBBAA
    1. 0,40{,}4
    2. 0,180{,}18
    3. 0,720{,}72
    4. 0,030{,}03

  6. Question 6. On a représenté une fonction affine ff et une fonction polynôme du second degré gg définies sur R\mathbb{R}. L’ensemble SS des solutions de f(x)<g(x)f(x)<g(x) est :

    Représentation graphique de l’énoncé-3-2-112345-2-11234gf
    1. S=]−2;2[S=]-2;2[
    2. S=]−∞;−2[∪]2;+∞[S=]-\infty;-2[\cup]2;+\infty[
    3. S=]−1;0,5[∪]3;+∞[S=]-1;0{,}5[\cup]3;+\infty[
    4. S=]−1;3[S=]-1;3[

  7. Question 7. Pour yy réel non nul, on définit xx par x=3+5yx=3+\frac5y. On peut affirmer que :

    1. y=x8y=\frac{x}{8}
    2. y=x−35y=\frac{x-3}{5}
    3. y=8xy=\frac8x
    4. y=5x−3y=\frac5{x-3}

  8. Question 8. On considère la série donnée dans le tableau ci-dessous. On note MeMe sa médiane et x‾\overline{x} sa moyenne. On peut affirmer que :

    Valeurs et effectifs de la série
    Valeur0102030100
    Effectif31222
    1. Me=x‾Me=\overline{x}
    2. Me>x‾Me>\overline{x}
    3. Me<x‾Me<\overline{x}
    4. Me>30Me>30
Voir les réponses du QCM
  1. Question 1 : Trois solutions
  2. Question 2 : 40 %
  3. Question 3 : y=−13x+2y=-\frac13x+2
  4. Question 4 : 813\frac{8}{13}
  5. Question 5 : 0,180{,}18
  6. Question 6 : S=]−∞;−2[∪]2;+∞[S=]-\infty;-2[\cup]2;+\infty[
  7. Question 7 : y=5x−3y=\frac5{x-3}
  8. Question 8 : Me<x‾Me<\overline{x}

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DEUXIÈME PARTIE · EXERCICE 1

Baisse du niveau d’un lac

7 points
45 min conseillées

Énoncé

Un lac qui alimente une région en électricité voit son niveau d’eau baisser depuis le début des années 2000.

En 2020, le niveau du lac était d’environ 1 100 mètres au-dessus du niveau de la mer. En dessous de 1 020 mètres, le niveau du lac est insuffisant pour permettre la production d’énergie hydroélectrique.

Partie A — Étude d’un modèle discret

Dans cette partie, on estime que le niveau du lac, mesuré au-dessus du niveau de la mer, baisse de 1 % tous les ans.

On définit la suite (un)(u_n) telle que unu_n représente le niveau du lac en mètres nn années après 2020, c’est-à-dire en 2020+n2020+n. On a alors u0=1 100u_0=1\,100.

  1. Calculer u1u_1 et interpréter ce résultat.

    Aide aux calculs :

    1 100×0,99=1 089,1 100×0,01=11,1 100×0,9=990.1\,100\times0{,}99=1\,089, \qquad 1\,100\times0{,}01=11, \qquad 1\,100\times0{,}9=990.

  2. a. Pour tout entier naturel nn, exprimer un+1u_{n+1} en fonction de unu_n.

    b. En déduire la nature de la suite (un)(u_n). On précisera sa raison.

    c. Pour tout entier naturel nn, en déduire une expression de unu_n en fonction de nn.

  3. Écrire le calcul qui permet d’estimer le niveau du lac en 2028. On ne demande pas d’effectuer ce calcul.

  4. Recopier et compléter le programme écrit en langage Python ci-dessous afin qu’il affiche le nombre d’années après 2020 à partir duquel le niveau du lac sera insuffisant pour produire de l’énergie hydroélectrique.

u = 1100
n = 0
while ....................:
    n = n + 1
    u = ....................
print(n)

Partie B — Étude d’un modèle continu

Dans cette partie, l’évolution du niveau du lac est modélisée par une fonction ff définie sur l’intervalle [0;+∞[[0;+\infty[ par :

f(t)=1 050e−0,01t+50,f(t)=1\,050\mathrm e^{-0{,}01t}+50,

où f(t)f(t) est le niveau du lac en mètres et tt le temps écoulé en années, depuis 2020.

  1. Le modèle proposé est-il cohérent avec le niveau du lac en 2020 ? Justifier votre réponse.

  2. Montrer que, pour tout réel tt de l’intervalle [0;+∞[[0;+\infty[ :

    f′(t)=−10,5e−0,01t.f'(t)=-10{,}5\mathrm e^{-0{,}01t}.

  3. En déduire le sens de variation de la fonction ff sur l’intervalle [0;+∞[[0;+\infty[. Justifier.

  4. On donne ci-dessous Cf\mathcal C_f, la courbe représentative de la fonction ff dans un repère orthogonal.

Niveau du lac selon le nombre d’années écoulées depuis 2020La courbe décroît de 1100 mètres en 2020 à environ 1000 mètres dix ans plus tard. Elle passe sous le niveau de 1020 mètres environ huit ans après 2020.

Lire, avec la précision permise par le graphique, l’année à partir de laquelle le niveau du lac sera insuffisant pour produire de l’énergie hydroélectrique.

Voir la correction détaillée

Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

Partie A — Étudier le modèle discret

  1. Une baisse de 1 % correspond au coefficient multiplicateur 1−1100=0,991-\dfrac1{100}=0{,}99. Ainsi :
u1=1 100×0,99=1 089.u_1=1\,100\times0{,}99=\boxed{1\,089}.

Selon ce modèle, le niveau du lac est de 1 089 mètres en 2021.

  1. a. Chaque année, le niveau précédent est multiplié par 0,990{,}99 :

    un+1=0,99un.\boxed{u_{n+1}=0{,}99u_n}.

    b. La suite (un)(u_n) est géométrique, de premier terme u0=1 100u_0=1\,100 et de raison q=0,99q=0{,}99.

    c. Le terme général d’une suite géométrique donne :

    un=1 100×0,99n.\boxed{u_n=1\,100\times0{,}99^n}.

  2. L’année 2028 correspond à 2020+n=20282020+n=2028, donc à n=8n=8. Le calcul demandé est :

u8=1 100×0,998.\boxed{u_8=1\,100\times0{,}99^8}.
  1. Le niveau devient insuffisant lorsqu’il est strictement inférieur à 1 020 mètres. La boucle doit donc continuer tant que u reste supérieur ou égal à 1 020 :
u = 1100
n = 0
while u >= 1020:
    n = n + 1
    u = 0.99 * u
print(n)

Partie B — Étudier le modèle continu

  1. L’année 2020 correspond à t=0t=0. Or :
f(0)=1 050e0+50=1 050+50=1 100.f(0)=1\,050\mathrm e^0+50=1\,050+50=1\,100.

Le modèle retrouve bien le niveau annoncé pour 2020 : il est donc cohérent.

  1. La dérivée de t↦e−0,01tt\mapsto\mathrm e^{-0{,}01t} est t↦−0,01e−0,01tt\mapsto-0{,}01\mathrm e^{-0{,}01t}. Par conséquent :
f′(t)=1 050×(−0,01)e−0,01t=−10,5e−0,01t.\begin{aligned} f'(t) &=1\,050\times(-0{,}01)\mathrm e^{-0{,}01t}\\ &=\boxed{-10{,}5\mathrm e^{-0{,}01t}}. \end{aligned}

  1. Pour tout réel tt, e−0,01t>0\mathrm e^{-0{,}01t}>0. Le facteur −10,5-10{,}5 est négatif, donc f′(t)<0f'(t)<0 sur [0;+∞[[0;+\infty[. La fonction ff est donc strictement décroissante sur cet intervalle.

  2. Le niveau devient insuffisant lorsque la courbe passe sous l’ordonnée 1 020. La lecture graphique situe ce passage environ huit ans après 2020. Le niveau du lac devient donc insuffisant à partir de l’année 2028.

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DEUXIÈME PARTIE · EXERCICE 2

Cercle, hyperbole et angle droit

7 points
45 min conseillées

Énoncé

On se place dans un repère orthonormé (O;ı⃗,ȷ⃗)(O;\vec\imath,\vec\jmath) pour l’ensemble de l’exercice.

Partie A — Étude d’un cercle

Cette partie est indépendante des parties B et C qui suivent.

On considère le cercle C\mathcal C de centre A(3;1)A(3;1) et de rayon r=372r=\dfrac{\sqrt{37}}2.

Cercle de centre A et de rayon racine de 37 sur 2Le cercle a pour centre A de coordonnées trois et un. Le point B de coordonnées six et zéro virgule cinq est situé sur ce cercle.

  1. Justifier que le cercle C\mathcal C admet pour équation :

    (x−3)2+(y−1)2=374.(x-3)^2+(y-1)^2=\frac{37}{4}.

  2. Démontrer que le point B(6;0,5)B(6;0{,}5) appartient au cercle C\mathcal C.

Aide aux calculs :

9,25=374,8,75=354,0,52=0,25.9{,}25=\frac{37}{4}, \qquad 8{,}75=\frac{35}{4}, \qquad 0{,}5^2=0{,}25.

Pour la suite de l’exercice, on considère la figure ci-dessous et les données suivantes.

Courbe d’équation y égale trois sur xLa courbe est tracée pour x strictement positif. Les points A trois un et B six zéro virgule cinq sont sur la courbe, tandis que le point D a pour coordonnées quatre et deux.
  • l’équation de la courbe H\mathcal H est y=3xy=\dfrac3x pour xx strictement positif ;
  • les coordonnées des points sont A(3;1)A(3;1), B(6;0,5)B(6;0{,}5) et D(4;2)D(4;2).

On considère un point MM mobile sur la courbe H\mathcal H, d’abscisse x>0x>0. L’objectif des deux parties suivantes est de démontrer qu’il n’existe qu’un seul point MM tel que l’angle DAM^\widehat{DAM} soit droit.

Partie B — Étude d’un cas particulier

  1. Justifier que le point BB appartient à la courbe H\mathcal H.

  2. a. Déterminer les coordonnées des vecteurs AD→\overrightarrow{AD} et AB→\overrightarrow{AB}.

    b. En déduire le produit scalaire AD→⋅AB→\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}.

    c. L’angle DAB^\widehat{DAB} est-il droit ? Justifier.

Partie C — Étude du cas général

  1. Résoudre dans R\mathbb R l’équation x2−4x+3=0x^2-4x+3=0.

  2. On rappelle que MM est un point sur la courbe H\mathcal H d’abscisse x>0x>0. Démontrer qu’il n’existe qu’un seul point MM tel que l’angle DAM^\widehat{DAM} soit droit.

Toute trace de recherche pourra être valorisée.

Voir la correction détaillée

Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

Partie A — Étudier le cercle

  1. Dans un repère orthonormé, le cercle de centre A(xA;yA)A(x_A;y_A) et de rayon rr a pour équation :
(x−xA)2+(y−yA)2=r2.(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2.

Ici, A(3;1)A(3;1) et r=372r=\dfrac{\sqrt{37}}2, donc :

(x−3)2+(y−1)2=(372)2=374.(x-3)^2+(y-1)^2 =\left(\frac{\sqrt{37}}2\right)^2 =\boxed{\frac{37}{4}}.
  1. Pour B(6;0,5)B(6;0{,}5), le membre de gauche vaut :
(6−3)2+(0,5−1)2=32+(−0,5)2=9+0,25=9,25=374.\begin{aligned} (6-3)^2+(0{,}5-1)^2 &=3^2+(-0{,}5)^2\\ &=9+0{,}25\\ &=9{,}25 =\frac{37}{4}. \end{aligned}

Les coordonnées de BB vérifient l’équation du cercle : B∈C\boxed{B\in\mathcal C}.

Partie B — Étudier le point BB

  1. Pour x=6x=6, l’équation de H\mathcal H donne :
y=36=12=0,5.y=\frac36=\frac12=0{,}5.

On retrouve l’ordonnée de B(6;0,5)B(6;0{,}5), donc B∈H\boxed{B\in\mathcal H}.

  1. a. On soustrait les coordonnées de AA à celles des extrémités :

    AD→=(4−32−1)=(11),AB→=(6−30,5−1)=(3−0,5).\overrightarrow{AD} =\begin{pmatrix}4-3\\2-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow{AB} =\begin{pmatrix}6-3\\0{,}5-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\-0{,}5\end{pmatrix}.

    b. Leur produit scalaire vaut :

    AD→⋅AB→=1×3+1×(−0,5)=2,5.\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB} =1\times3+1\times(-0{,}5) =\boxed{2{,}5}.

    c. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Ici, 2,5≠02{,}5\neq0 : l’angle DAB^\widehat{DAB} n’est pas droit.

Partie C — Traiter le cas général

  1. On factorise :
x2−4x+3=(x−1)(x−3).x^2-4x+3=(x-1)(x-3).

Ainsi :

(x−1)(x−3)=0  ⟺  x=1 ou x=3.(x-1)(x-3)=0 \iff x=1\text{ ou }x=3.
  1. Puisque MM appartient à H\mathcal H et a pour abscisse x>0x>0, ses coordonnées sont :
M(x;3x).M\left(x;\frac3x\right).

On a donc :

AM→=(x−33x−1).\overrightarrow{AM} =\begin{pmatrix}x-3\\\frac3x-1\end{pmatrix}.

L’angle DAM^\widehat{DAM} est droit lorsque AD→⋅AM→=0\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AM}=0. Or :

AD→⋅AM→=1(x−3)+1(3x−1)=x+3x−4=x2−4x+3x.\begin{aligned} \overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AM} &=1(x-3)+1\left(\frac3x-1\right)\\ &=x+\frac3x-4\\ &=\frac{x^2-4x+3}{x}. \end{aligned}

Comme x>0x>0, le dénominateur n’est pas nul. D’après la question précédente, le produit scalaire s’annule pour x=1x=1 ou x=3x=3.

  • si x=1x=1, alors M(1;3)M(1;3) et l’angle DAM^\widehat{DAM} est bien défini et droit ;
  • si x=3x=3, alors M(3;1)=AM(3;1)=A. Dans ce cas, le vecteur AM→\overrightarrow{AM} est nul et l’angle DAM^\widehat{DAM} n’est pas défini.

Il existe donc un seul point convenable :

M(1;3).\boxed{M(1;3)}.

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