Baisse du niveau d’un lac

Énoncé

Un lac qui alimente une région en électricité voit son niveau d’eau baisser depuis le début des années 2000.

En 2020, le niveau du lac était d’environ 1 100 mètres au-dessus du niveau de la mer. En dessous de 1 020 mètres, le niveau du lac est insuffisant pour permettre la production d’énergie hydroélectrique.

Partie A — Étude d’un modèle discret

Dans cette partie, on estime que le niveau du lac, mesuré au-dessus du niveau de la mer, baisse de 1 % tous les ans.

On définit la suite $(u_n)$ telle que $u_n$ représente le niveau du lac en mètres $n$ années après 2020, c’est-à-dire en $2020+n$ . On a alors $u_0=1\,100$ .

Calculer $u_1$ et interpréter ce résultat.

Aide aux calculs :
$1\,100\times0{,}99=1\,089, \qquad 1\,100\times0{,}01=11, \qquad 1\,100\times0{,}9=990.$
a. Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ .

b. En déduire la nature de la suite $(u_n)$ . On précisera sa raison.

c. Pour tout entier naturel $n$ , en déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$ .
Écrire le calcul qui permet d’estimer le niveau du lac en 2028. On ne demande pas d’effectuer ce calcul.
Recopier et compléter le programme écrit en langage Python ci-dessous afin qu’il affiche le nombre d’années après 2020 à partir duquel le niveau du lac sera insuffisant pour produire de l’énergie hydroélectrique.

u = 1100
n = 0
while ....................:
    n = n + 1
    u = ....................
print(n)

Partie B — Étude d’un modèle continu

Dans cette partie, l’évolution du niveau du lac est modélisée par une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par :

f(t)=1\,050\mathrm e^{-0{,}01t}+50,

où $f(t)$ est le niveau du lac en mètres et $t$ le temps écoulé en années, depuis 2020.

Le modèle proposé est-il cohérent avec le niveau du lac en 2020 ? Justifier votre réponse.
Montrer que, pour tout réel $t$ de l’intervalle $[0;+\infty[$ :
$f'(t)=-10{,}5\mathrm e^{-0{,}01t}.$
En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$ . Justifier.
On donne ci-dessous $\mathcal C_f$ , la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

Lire, avec la précision permise par le graphique, l’année à partir de laquelle le niveau du lac sera insuffisant pour produire de l’énergie hydroélectrique.

Voir la correction détaillée

Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

Partie A — Étudier le modèle discret

Une baisse de 1 % correspond au coefficient multiplicateur $1-\dfrac1{100}=0{,}99$ . Ainsi :

u_1=1\,100\times0{,}99=\boxed{1\,089}.

Selon ce modèle, le niveau du lac est de 1 089 mètres en 2021.

a. Chaque année, le niveau précédent est multiplié par $0{,}99$ :
$\boxed{u_{n+1}=0{,}99u_n}.$
b. La suite $(u_n)$ est géométrique, de premier terme $u_0=1\,100$ et de raison $q=0{,}99$ .

c. Le terme général d’une suite géométrique donne :
$\boxed{u_n=1\,100\times0{,}99^n}.$
L’année 2028 correspond à $2020+n=2028$ , donc à $n=8$ . Le calcul demandé est :

\boxed{u_8=1\,100\times0{,}99^8}.

Le niveau devient insuffisant lorsqu’il est strictement inférieur à 1 020 mètres. La boucle doit donc continuer tant que u reste supérieur ou égal à 1 020 :

u = 1100
n = 0
while u >= 1020:
    n = n + 1
    u = 0.99 * u
print(n)

Partie B — Étudier le modèle continu

L’année 2020 correspond à $t=0$ . Or :

f(0)=1\,050\mathrm e^0+50=1\,050+50=1\,100.

Le modèle retrouve bien le niveau annoncé pour 2020 : il est donc cohérent.

La dérivée de $t\mapsto\mathrm e^{-0{,}01t}$ est $t\mapsto-0{,}01\mathrm e^{-0{,}01t}$ . Par conséquent :

\begin{aligned} f'(t) &=1\,050\times(-0{,}01)\mathrm e^{-0{,}01t}\\ &=\boxed{-10{,}5\mathrm e^{-0{,}01t}}. \end{aligned}

Pour tout réel $t$ , $\mathrm e^{-0{,}01t}>0$ . Le facteur $-10{,}5$ est négatif, donc $f'(t)<0$ sur $[0;+\infty[$ . La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur cet intervalle.
Le niveau devient insuffisant lorsque la courbe passe sous l’ordonnée 1 020. La lecture graphique situe ce passage environ huit ans après 2020. Le niveau du lac devient donc insuffisant à partir de l’année 2028.