SUJET OFFICIEL · 26-MATSPEGEPO1

Épreuve anticipée de mathématiques 2026 — Polynésie — spécialité mathématiques

Le QCM et les trois exercices sont réunis dans l’ordre du sujet original.

Durée officielle: 2 h
Barème: 20 points
Calculatrice: Interdite
Parcours: Spécialité maths

L’épreuve comporte une première partie d’automatismes sur 6 points et une deuxième partie sur 14 points. Les corrections proposées ne sont pas des corrigés officiels.

MODE DE TRAVAIL

Vue complète du sujet

Temps restant02:00:00

Première partie — Automatismes — QCM

Pour cette partie, aucune justification n’est demandée et une seule réponse est possible par question. Une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève aucun point.

Répondez aux 8 questions sans calculatrice. Le chronomètre démarre uniquement lorsque vous lancez le quiz.

Questions: 8
Temps indicatif: 8 min
Barème: 6 points

Les réponses restent dans votre navigateur et ne sont pas enregistrées.

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Question 1. Un article coûte 40 € et subit une augmentation de 30 %. Combien coûte-t-il après cette augmentation ?
1. 40,30 €
2. 52 €
3. 12 €
4. 70 €
Question 2. On considère l’équation $(-0{,}5x+3)(-5x-4)=0$ . Ses solutions sont :
1. $\frac{0{,}5}{3}$ et $\frac54$
2. $\frac{0{,}5}{3}$ et $-0{,}8$
3. $6$ et $0{,}8$
4. $6$ et $-0{,}8$
Question 3. Un entraîneur choisit 8 joueurs dans une équipe. Cela représente 20 % de l’équipe. Combien y a-t-il de joueurs dans l’équipe ?
1. 16
2. 20
3. 40
4. 32
Question 4. L’énergie cinétique d’un objet est $E_C=\frac{1}{2}mv^2$ . L’expression de $v$ en fonction de $E_C$ et de $m$ est :
1. $v=\frac{E_C^2}{2m}$
2. $v=\sqrt{\frac{2E_C}{m}}$
3. $v=\sqrt{\frac{E_C}{2m}}$
4. $v=\sqrt{2mE_C}$
Question 5. On a représenté la fonction inverse définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x)=\frac1x$ . L’ensemble des solutions de $\frac1x\geq2$ est :
1. $]0;\frac12]$
2. $]0;2]$
3. $[2;+\infty[$
4. $]-\infty;0[\cup[\frac12;+\infty[$
Question 6. Le nombre $2^9\times5^7$ est égal à :
1. $10^{16}$
2. $4\times10^7$
3. $10^{63}$
4. $4\times10^{14}$
Question 7. Parmi les équations proposées, laquelle est celle de la droite $(d)$ tracée ci-dessous ?
1. $y=-5{,}2x+8{,}6$
2. $y=0{,}6x+5{,}2$
3. $y=5{,}2x+8{,}6$
4. $y=-0{,}6x+5{,}2$
Question 8. Quelle est la forme factorisée de $16x^2-(x+1)^2$ ?
1. $(3x-1)^2$
2. $(3x-1)(5x+1)$
3. $(15x-1)^2$
4. $(15x-1)(17x+1)$

Voir les réponses du QCM

Question 1 : 52 €
Question 2 : $6$ et $-0{,}8$
Question 3 : 40
Question 4 : $v=\sqrt{\frac{2E_C}{m}}$
Question 5 : $]0;\frac12]$
Question 6 : $4\times10^7$
Question 7 : $y=-0{,}6x+5{,}2$
Question 8 : $(3x-1)(5x+1)$

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DEUXIÈME PARTIE · EXERCICE 1

Activités et fréquentation d’un club de vacances

8 points
50 min conseillées

Énoncé

Partie A

Un club de vacances propose deux types d’activités à ses clients : des randonnées le matin et des activités nautiques l’après-midi.

On sait que :

un quart des clients participent aux randonnées ;
parmi les clients ayant choisi de faire une randonnée le matin, la moitié s’inscrit aussi aux activités nautiques de l’après-midi ;
parmi les clients n’ayant pas choisi de faire une randonnée le matin, un tiers s’inscrit aux activités nautiques de l’après-midi.

On choisit un client du club de vacances au hasard et on note :

$R$ l’événement : « le client participe à la randonnée » ;
$N$ l’événement : « le client participe aux activités nautiques ».

Recopier et compléter l’arbre de probabilité représentant la situation.

Montrer que la probabilité que le client participe aux activités nautiques est de $\dfrac38$ .
Sachant que le client a participé aux activités nautiques de l’après-midi, quelle est la probabilité qu’il ait fait la randonnée du matin ?
Les événements $R$ et $N$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Partie B

En 2025, le club de vacances a accueilli 400 clients. Son directeur projette la fréquentation du club dans les années à venir en modélisant le nombre de clients du club les années suivantes par la suite $(u_n)$ définie par :

u_0=400 \qquad\text{et, pour tout entier naturel }n,\qquad u_{n+1}=1{,}025u_n,

où $u_n$ représente le nombre de clients du club pour l’année $2025+n$ .

Donner la nature de la suite $(u_n)$ en précisant sa raison.
Selon ce modèle, quel est le taux d’évolution annuel de la fréquentation de ce club de vacances ?
a. Recopier et compléter la fonction seuil, codée en Python, afin qu’elle renvoie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n$ soit supérieur ou égal à $k$ , où $k$ est un entier naturel non nul.

def seuil(k):
    u = 400
    n = 0
    while ......:
        n = ...
        u = ...
    return ...

b. Le tableau ci-dessous a été extrait d’une feuille automatisée de calcul donnant les valeurs arrondies au centième de $1{,}025^n$ pour certaines valeurs de $n$ .

$n$	$1{,}025^n$
0	1,00
1	1,03
2	1,05
3	1,08
4	1,10
5	1,13
6	1,16
7	1,19
8	1,22
9	1,25
10	1,28
11	1,31
12	1,34
13	1,38
14	1,41
15	1,45
16	1,48
17	1,52
18	1,56
19	1,60
20	1,64
21	1,68

Déterminer la valeur renvoyée par l’instruction seuil(600), où seuil est la fonction codée en Python donnée en 3. a. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

Aide au calcul : $400\times1{,}5=600$ .

Voir la correction détaillée

Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

Partie A — Exploiter l’arbre de probabilités

Les données de l’énoncé donnent directement :

P(R)=\frac14, \qquad P_R(N)=\frac12, \qquad P_{\overline R}(N)=\frac13.

Sur chaque nœud, les probabilités des deux branches ont pour somme $1$ . On en déduit :

P(\overline R)=\frac34, \qquad P_R(\overline N)=\frac12, \qquad P_{\overline R}(\overline N)=\frac23.

L’événement $N$ peut être réalisé par les chemins $R\cap N$ et $\overline R\cap N$ . La formule des probabilités totales donne :

\begin{aligned} P(N) &=P(R)P_R(N)+P(\overline R)P_{\overline R}(N)\\ &=\frac14\times\frac12+\frac34\times\frac13\\ &=\frac18+\frac14 =\boxed{\frac38}. \end{aligned}

On cherche $P_N(R)$ . Or :

P(R\cap N)=P(R)P_R(N)=\frac14\times\frac12=\frac18.

Ainsi :

P_N(R)=\frac{P(R\cap N)}{P(N)} =\frac{\frac18}{\frac38} =\boxed{\frac13}.

Si $R$ et $N$ étaient indépendants, on aurait $P_R(N)=P(N)$ . Pourtant :

P_R(N)=\frac12 \qquad\text{et}\qquad P(N)=\frac38.

Ces probabilités sont différentes : les événements $R$ et $N$ ne sont pas indépendants.

Partie B — Modéliser la fréquentation

Pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1}=1{,}025u_n$ . La suite $(u_n)$ est donc géométrique, de premier terme $u_0=400$ et de raison $q=1{,}025$ .
Comme $1{,}025=1+\dfrac{2{,}5}{100}$ , le modèle correspond à une augmentation annuelle de 2,5 %.
a. Tant que u est strictement inférieur à k, on passe au rang suivant et on multiplie le terme par $1{,}025$ :

def seuil(k):
    u = 400
    n = 0
    while u < k:
        n = n + 1
        u = 1.025 * u
    return n

b. Puisque $u_n=400\times1{,}025^n$ , la condition $u_n\geqslant600$ équivaut à :

1{,}025^n\geqslant\frac{600}{400}=1{,}5.

Le tableau donne $1{,}025^{16}\approx1{,}48<1{,}5$ et $1{,}025^{17}\approx1{,}52\geqslant1{,}5$ . La fonction renvoie donc :

\boxed{17}.

Selon ce modèle, le club accueillera au moins 600 clients pour la première fois en $2025+17$ , c’est-à-dire en 2042.

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DEUXIÈME PARTIE · EXERCICE 2

Raccordement de deux courbes

6 points
40 min conseillées

Énoncé

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par :

f(x)=\left(\frac12x+1\right)\mathrm e^{-x}.

On note $\mathcal C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ et on désigne par $f'$ sa fonction dérivée.

Aide au calcul : $\mathrm e^1\approx2{,}7$ , $\mathrm e^{-1}\approx0{,}4$ et $\mathrm e^2\approx7{,}4$ .

Démontrer que, pour tout réel $x$ :
$f'(x)=\left(-\frac12x-\frac12\right)\mathrm e^{-x}.$
Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb R$ .
L’affirmation « Pour tout réel $x$ , $f(x)\leqslant2$ » est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
Déterminer l’équation réduite de la tangente à $\mathcal C_f$ au point d’abscisse $0$ .

Partie B

Soit $g$ la fonction polynôme du second degré définie par :

g(x)=0{,}5x^2+bx+c,

où $b$ et $c$ sont deux réels.

On crée la courbe représentée ci-dessous, constituée des deux éléments suivants :

une partie de la courbe $\mathcal C_f$ représentative de la fonction $f$ définie dans la partie A sur l’intervalle $[-2;0]$ ;
une partie de la courbe $\mathcal C_g$ représentative de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0;3]$ .

Le but de cette partie est de déterminer les réels $b$ et $c$ .

Le point $M(0;1)$ appartient aux deux courbes $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$ . Démontrer que $c=1$ .
Au point $M(0;1)$ , les courbes $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$ admettent la même tangente. Déterminer la valeur de $b$ .

Voir la correction détaillée

Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

Partie A — Étudier la fonction $f$

Posons $u(x)=\dfrac12x+1$ et $v(x)=\mathrm e^{-x}$ . Alors :

u'(x)=\frac12 \qquad\text{et}\qquad v'(x)=-\mathrm e^{-x}.

Avec la formule $(uv)'=u'v+uv'$ :

\begin{aligned} f'(x) &=\frac12\mathrm e^{-x} +\left(\frac12x+1\right)(-\mathrm e^{-x})\\ &=\left(\frac12-\frac12x-1\right)\mathrm e^{-x}\\ &=\boxed{\left(-\frac12x-\frac12\right)\mathrm e^{-x}}. \end{aligned}

Pour tout réel $x$ , $\mathrm e^{-x}>0$ . Le signe de $f'(x)$ est donc celui de $-\dfrac12x-\dfrac12=-\dfrac12(x+1)$ :

$f'(x)>0$ lorsque $x<-1$ ;
$f'(-1)=0$ ;
$f'(x)<0$ lorsque $x>-1$ .

De plus :

f(-1)=\left(-\frac12+1\right)\mathrm e =\frac{\mathrm e}{2}.

$x$	$-\infty$		$-1$		$+\infty$
Signe de $f'(x)$		+	$0$	−
Variations de $f$		↗	$\dfrac{\mathrm e}{2}$	↘

La fonction $f$ est croissante sur $]-\infty;-1]$ , puis décroissante sur $[-1;+\infty[$ . Elle atteint donc son maximum en $-1$ .

Comme $\mathrm e\approx2{,}7$ :

\frac{\mathrm e}{2}\approx1{,}35<2.

Le maximum de $f$ étant inférieur à $2$ , l’affirmation est vraie.

Une équation de la tangente au point d’abscisse $0$ est :

y=f'(0)(x-0)+f(0).

Or $f(0)=1$ et $f'(0)=-\dfrac12$ . Ainsi :

\boxed{y=-\frac12x+1}.

Partie B — Déterminer $b$ et $c$

Comme $M(0;1)$ appartient à $\mathcal C_g$ , on a $g(0)=1$ . Or :

g(0)=0{,}5\times0^2+b\times0+c=c.

Donc $\boxed{c=1}$ .

Les deux courbes ont la même tangente en $M$ , donc leurs nombres dérivés en $0$ sont égaux. Comme :

g'(x)=x+b,

on obtient $g'(0)=b$ . La partie A donne $f'(0)=-\dfrac12$ . Par conséquent :

\boxed{b=-\frac12}.

Ouvrir cet exercice seul

Première partie — Automatismes — QCM

Énoncé

Partie A

Partie B

Partie A — Exploiter l’arbre de probabilités

Partie B — Modéliser la fréquentation

Énoncé

Partie A

Partie B

Partie A — Étudier la fonction fff

Partie B — Déterminer bbb et ccc

Partie A — Étudier la fonction $f$

Partie B — Déterminer $b$ et $c$