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EXERCICE 2 · 26-MATSPEGEPO1

Raccordement de deux courbes

Dérivation d’un produit, variations, tangente et détermination des coefficients d’un polynôme.

Barème officiel
6 points
Temps conseillé
40 min
Parcours
Spécialité maths
Mis à jour

Énoncé

Partie A

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb R par :

f(x)=(12x+1)e−x.f(x)=\left(\frac12x+1\right)\mathrm e^{-x}.

On note Cf\mathcal C_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

On admet que la fonction ff est dérivable sur R\mathbb R et on désigne par f′f' sa fonction dérivée.

Aide au calcul : e1≈2,7\mathrm e^1\approx2{,}7, e−1≈0,4\mathrm e^{-1}\approx0{,}4 et e2≈7,4\mathrm e^2\approx7{,}4.

  1. Démontrer que, pour tout réel xx :

    f′(x)=(−12x−12)e−x.f'(x)=\left(-\frac12x-\frac12\right)\mathrm e^{-x}.

  2. Étudier les variations de la fonction ff sur R\mathbb R.

  3. L’affirmation « Pour tout réel xx, f(x)⩽2f(x)\leqslant2 » est-elle vraie ou fausse ? Justifier.

  4. Déterminer l’équation réduite de la tangente à Cf\mathcal C_f au point d’abscisse 00.

Partie B

Soit gg la fonction polynôme du second degré définie par :

g(x)=0,5x2+bx+c,g(x)=0{,}5x^2+bx+c,

où bb et cc sont deux réels.

On crée la courbe représentée ci-dessous, constituée des deux éléments suivants :

  • une partie de la courbe Cf\mathcal C_f représentative de la fonction ff définie dans la partie A sur l’intervalle [−2;0][-2;0] ;
  • une partie de la courbe Cg\mathcal C_g représentative de la fonction gg sur l’intervalle [0;3][0;3].
Courbes des fonctions f et gLa courbe de f est tracée de moins deux à zéro et celle de g de zéro à trois. Elles se rejoignent au point M de coordonnées zéro et un avec la même tangente.

Le but de cette partie est de déterminer les réels bb et cc.

  1. Le point M(0;1)M(0;1) appartient aux deux courbes Cf\mathcal C_f et Cg\mathcal C_g. Démontrer que c=1c=1.

  2. Au point M(0;1)M(0;1), les courbes Cf\mathcal C_f et Cg\mathcal C_g admettent la même tangente. Déterminer la valeur de bb.

Voir la correction détaillée

Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

Partie A — Étudier la fonction ff

  1. Posons u(x)=12x+1u(x)=\dfrac12x+1 et v(x)=e−xv(x)=\mathrm e^{-x}. Alors :
u′(x)=12etv′(x)=−e−x.u'(x)=\frac12 \qquad\text{et}\qquad v'(x)=-\mathrm e^{-x}.

Avec la formule (uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv' :

f′(x)=12e−x+(12x+1)(−e−x)=(12−12x−1)e−x=(−12x−12)e−x.\begin{aligned} f'(x) &=\frac12\mathrm e^{-x} +\left(\frac12x+1\right)(-\mathrm e^{-x})\\ &=\left(\frac12-\frac12x-1\right)\mathrm e^{-x}\\ &=\boxed{\left(-\frac12x-\frac12\right)\mathrm e^{-x}}. \end{aligned}
  1. Pour tout réel xx, e−x>0\mathrm e^{-x}>0. Le signe de f′(x)f'(x) est donc celui de −12x−12=−12(x+1)-\dfrac12x-\dfrac12=-\dfrac12(x+1) :
  • f′(x)>0f'(x)>0 lorsque x<−1x<-1 ;
  • f′(−1)=0f'(-1)=0 ;
  • f′(x)<0f'(x)<0 lorsque x>−1x>-1.

De plus :

f(−1)=(−12+1)e=e2.f(-1)=\left(-\frac12+1\right)\mathrm e =\frac{\mathrm e}{2}.
xx−∞-\infty−1-1+∞+\infty
Signe de f′(x)f'(x)+00−
Variations de ff↗e2\dfrac{\mathrm e}{2}↘

La fonction ff est croissante sur ]−∞;−1]]-\infty;-1], puis décroissante sur [−1;+∞[[-1;+\infty[. Elle atteint donc son maximum en −1-1.

  1. Comme e≈2,7\mathrm e\approx2{,}7 :
e2≈1,35<2.\frac{\mathrm e}{2}\approx1{,}35<2.

Le maximum de ff étant inférieur à 22, l’affirmation est vraie.

  1. Une équation de la tangente au point d’abscisse 00 est :
y=f′(0)(x−0)+f(0).y=f'(0)(x-0)+f(0).

Or f(0)=1f(0)=1 et f′(0)=−12f'(0)=-\dfrac12. Ainsi :

y=−12x+1.\boxed{y=-\frac12x+1}.

Partie B — Déterminer bb et cc

  1. Comme M(0;1)M(0;1) appartient à Cg\mathcal C_g, on a g(0)=1g(0)=1. Or :
g(0)=0,5×02+b×0+c=c.g(0)=0{,}5\times0^2+b\times0+c=c.

Donc c=1\boxed{c=1}.

  1. Les deux courbes ont la même tangente en MM, donc leurs nombres dérivés en 00 sont égaux. Comme :
g′(x)=x+b,g'(x)=x+b,

on obtient g′(0)=bg'(0)=b. La partie A donne f′(0)=−12f'(0)=-\dfrac12. Par conséquent :

b=−12.\boxed{b=-\frac12}.