Sujet bac maths première 2026 — Antilles-Guyane

Première partie — Automatismes — QCM

Pour cette partie, aucune justification n’est demandée et une seule réponse est possible par question. Une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève aucun point.

Répondez aux 8 questions sans calculatrice. Le chronomètre démarre uniquement lorsque vous lancez le quiz.

Questions: 8
Temps indicatif: 8 min
Barème: 6 points

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Question 1. Une forme factorisée de $9x^2-\frac19$ est :
1. $(3x-\frac13)^2$
2. $(3x-\frac13)(3x+\frac13)$
3. $(9x-\frac13)^2$
4. $(9x-\frac13)(9x+\frac13)$
Question 2. On considère la relation $E=\frac{x-y}{zt}$ . Lorsque $x=3$ , $y=-2$ , $z=-3$ et $t=-4$ , on a :
1. $E=\frac1{12}$
2. $E=-\frac5{12}$
3. $E=\frac5{12}$
4. $E=-\frac1{12}$
Question 3. On considère une fonction $f$ définie sur $[-5;9]$ , représentée dans le repère. On note $A=\frac{f(-4)}{f(-1)}$ . Laquelle de ces propositions est vraie ?
1. $A=0$
2. $A<0$
3. $A>0$
4. On ne peut pas connaître le signe de $A$ .
Question 4. On considère sur $\mathbb{R}$ l’inéquation $-2x+2\geq0$ . On note $S$ son ensemble de solutions. On peut affirmer que :
1. $S=]-\infty;1]$
2. $S=[1;+\infty[$
3. $S=[-1;+\infty[$
4. $S=]-\infty;-1]$
Question 5. Une fonction $f$ est positive sur $]-\infty;-3[$ et $]2;+\infty[$ , négative sur $]-3;2[$ , et s’annule en $-3$ et $2$ . Une expression possible de $f(x)$ est :
1. $(x+3)(2-x)$
2. $(x+2)(x-3)$
3. $(x-2)(x+3)$
4. $(x+2)(3+x)$
Question 6. Le prix d’un article baisse de 50 % puis augmente de 40 %. Ces deux variations sont équivalentes à :
1. une baisse de 0 %
2. une baisse de 70 %
3. une baisse de 10 %
4. une baisse de 30 %
Question 7. On s’intéresse aux adhérents d’une association. On sait que 40 % d’entre eux sont des hommes et qu’il y a 30 femmes. Le nombre total d’adhérents de cette association est égal à :
1. 70
2. 40
3. 75
4. 50
Question 8. On considère un réel $a$ non nul. Une seule de ces égalités est vraie. Laquelle ?
1. $\frac{a^8}{a^{-5}}=a^3$
2. $\frac{a^{30}}{a^2}=a^{15}$
3. $(a^{10})^3=a^{13}$
4. $\frac{a\times a^5}{a^2}=a^4$

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Question 1 : $(3x-\frac13)(3x+\frac13)$
Question 2 : $E=\frac5{12}$
Question 3 : $A<0$
Question 4 : $S=]-\infty;1]$
Question 5 : $(x-2)(x+3)$
Question 6 : une baisse de 30 %
Question 7 : 50
Question 8 : $\frac{a\times a^5}{a^2}=a^4$

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DEUXIÈME PARTIE · EXERCICE 1

Dépréciation d’une voiture

5 points
30 min conseillées

Énoncé

On s’intéresse à l’évolution de la valeur d’une voiture.

En janvier 2025, la valeur de la voiture est égale à 10 000 euros.

On suppose qu’ensuite, chaque année, la valeur diminue de 10 %.

Pour tout entier naturel $n$ , on note $u_n$ la valeur de la voiture, en euros, au mois de janvier de l’année $2025+n$ . On a donc $u_0=10\,000$ .

a. Calculer la valeur de la voiture en janvier 2026.

b. Justifier que pour tout entier naturel $n$ , on a $u_{n+1}=0{,}9u_n$ .
En déduire la nature de la suite $(u_n)$ et préciser sa raison.
a. Pour tout entier naturel $n$ , exprimer le terme $u_n$ en fonction de $n$ .

b. En déduire la valeur de la voiture en janvier 2030.

On pourra s’aider de l’aide au calcul ci-dessous.
$0{,}9^4=0{,}6561, \qquad 0{,}9^5=0{,}59049, \qquad 0{,}9^6=0{,}531441.$
On considère le programme Python ci-dessous.

def seuil(A):
    N = 0
    U = 10000
    while .........:
        U = .......
        N = N+1
    return N

Recopier et compléter ce programme afin qu’il renvoie, après exécution, la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n<A$ , où $A$ est un nombre réel strictement positif.

L’exécution de ce programme, pour plusieurs valeurs de $A$ , donne les résultats suivants :

>>> seuil(7500)
3
>>> seuil(5000)
7
>>> seuil(2500)
14
>>> seuil(2000)
16

a. Interpréter, dans le contexte de l’exercice, le résultat obtenu lors de l’appel seuil(5000).

b. Déterminer, en expliquant la démarche, l’année à partir de laquelle la voiture aura perdu plus des trois quarts de sa valeur initiale.

Voir la correction détaillée

Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

1. Calculer l’évolution annuelle

a. Diminuer une valeur de 10 % revient à la multiplier par $1-\dfrac{10}{100}=0{,}9$ . Ainsi, en janvier 2026, la voiture vaut :

10\,000\times0{,}9=\boxed{9\,000\text{ euros}}.

b. D’une année à la suivante, la valeur subit la même baisse de 10 %. Pour tout entier naturel $n$ :

u_{n+1}=u_n\times0{,}9=\boxed{0{,}9u_n}.

2. Reconnaître la suite

Chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par $0{,}9$ . La suite $(u_n)$ est donc géométrique, de premier terme $u_0=10\,000$ et de raison $q=0{,}9$ .

3. Exprimer puis calculer un terme

a. Pour une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ , on a $u_n=u_0q^n$ . Ici :

\boxed{u_n=10\,000\times0{,}9^n}.

b. Janvier 2030 correspond à $2025+n=2030$ , donc à $n=5$ . Par conséquent :

u_5=10\,000\times0{,}9^5 =10\,000\times0{,}59049 =5\,904{,}9.

La voiture vaut donc 5 904,90 euros en janvier 2030.

4. Compléter le programme

La boucle doit continuer tant que la valeur U n’est pas encore strictement inférieure au seuil A. À chaque passage, la valeur est multipliée par $0{,}9$ .

def seuil(A):
    N = 0
    U = 10000
    while U >= A:
        U = 0.9 * U
        N = N+1
    return N

Lorsque la boucle s’arrête, N est bien le plus petit rang pour lequel $u_N<A$ .

5. Interpréter les résultats

a. L’appel seuil(5000) renvoie $7$ . Cela signifie que $u_7$ est la première valeur de la suite strictement inférieure à 5 000 euros. Comme $2025+7=2032$ , la valeur de la voiture devient inférieure à 5 000 euros pour la première fois en janvier 2032.

b. Perdre plus des trois quarts de la valeur initiale signifie conserver moins d’un quart de cette valeur. Or :

\frac14\times10\,000=2\,500.

On cherche donc le premier rang $n$ tel que $u_n<2\,500$ . Le résultat seuil(2500) vaut $14$ . Comme $2025+14=2039$ , la voiture aura perdu plus des trois quarts de sa valeur initiale à partir de janvier 2039.

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DEUXIÈME PARTIE · EXERCICE 2

Abonnements et tarifs d’un cinéma

5 points
35 min conseillées

Énoncé

On s’intéresse à l’ensemble des spectateurs d’un cinéma.

On désigne par le terme JEUNE un spectateur âgé de 18 ans ou moins.

On désigne par le terme ABONNÉ un spectateur ayant souscrit un abonnement à ce cinéma.

Une étude a permis d’établir les résultats suivants :

60 % des spectateurs sont abonnés ;
parmi les spectateurs abonnés, 40 % sont jeunes ;
parmi les spectateurs n’étant pas abonnés, 20 % sont jeunes.

On interroge au hasard un spectateur et on considère les événements suivants :

$A$ : « le spectateur est abonné » ;
$J$ : « le spectateur est jeune ».

Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous décrivant la situation.

Calculer la probabilité $P(A\cap J)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
Démontrer que $P(J)=0{,}32$ .
On considère l’affirmation suivante :

« Si on interroge un spectateur jeune au hasard, il y a plus d’une chance sur deux qu’il soit abonné ».

Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier.
Le prix d’une place de cinéma est fixé selon les règles suivantes :
- un spectateur non abonné paie sa place 5 euros, quel que soit son âge ;
- un spectateur abonné et n’étant pas jeune paie sa place 2 euros ;
- un spectateur abonné et jeune ne paie pas sa place : c’est gratuit.
On note $X$ la variable aléatoire qui, à un spectateur choisi au hasard, donne le prix qu’il doit payer pour sa place de cinéma.

a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ .

b. Calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

Voir la correction détaillée

Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

1. Compléter l’arbre pondéré

Les premières branches portent les probabilités :

P(A)=0{,}6 \qquad\text{et}\qquad P(\overline A)=1-0{,}6=0{,}4.

Parmi les abonnés, 40 % des spectateurs sont jeunes. On obtient donc :

P_A(J)=0{,}4 \qquad\text{et}\qquad P_A(\overline J)=1-0{,}4=0{,}6.

Parmi les spectateurs non abonnés, 20 % sont jeunes. Ainsi :

P_{\overline A}(J)=0{,}2 \qquad\text{et}\qquad P_{\overline A}(\overline J)=1-0{,}2=0{,}8.

2. Calculer une probabilité d’intersection

Le chemin qui conduit à $A\cap J$ porte les probabilités $P(A)$ et $P_A(J)$ . La règle du produit donne :

P(A\cap J)=P(A)\times P_A(J) =0{,}6\times0{,}4 =\boxed{0{,}24}.

Ainsi, 24 % des spectateurs sont à la fois abonnés et jeunes.

3. Calculer la probabilité d’être jeune

L’événement $J$ peut être atteint par deux chemins incompatibles : $A\cap J$ et $\overline A\cap J$ . D’après la formule des probabilités totales :

\begin{aligned} P(J) &=P(A\cap J)+P(\overline A\cap J)\\ &=0{,}24+P(\overline A)\times P_{\overline A}(J)\\ &=0{,}24+0{,}4\times0{,}2\\ &=0{,}24+0{,}08\\ &=\boxed{0{,}32}. \end{aligned}

4. Vérifier l’affirmation

On cherche la probabilité qu’un spectateur soit abonné sachant qu’il est jeune, c’est-à-dire $P_J(A)$ :

P_J(A) =\frac{P(A\cap J)}{P(J)} =\frac{0{,}24}{0{,}32} =\frac34 =0{,}75.

Cette probabilité est supérieure à $0{,}5$ . L’affirmation est donc exacte : parmi les spectateurs jeunes, 75 % sont abonnés.

5. Étudier le prix d’une place

a. La variable aléatoire $X$ peut prendre trois valeurs :

$X=0$ pour les spectateurs abonnés et jeunes, donc $P(X=0)=P(A\cap J)=0{,}24$ ;
$X=2$ pour les spectateurs abonnés et non jeunes, donc $P(X=2)=P(A)\times P_A(\overline J)=0{,}6\times0{,}6=0{,}36$ ;
$X=5$ pour tous les spectateurs non abonnés, donc $P(X=5)=P(\overline A)=0{,}4$ .

La loi de probabilité de $X$ est donc :

Prix $x_i$ en euros	$0$	$2$	$5$
$P(X=x_i)$	$0{,}24$	$0{,}36$	$0{,}40$

On vérifie que $0{,}24+0{,}36+0{,}40=1$ .

b. L’espérance de $X$ vaut :

\begin{aligned} E(X) &=0\times0{,}24+2\times0{,}36+5\times0{,}40\\ &=0+0{,}72+2\\ &=\boxed{2{,}72}. \end{aligned}

Sur un grand nombre de spectateurs choisis dans les mêmes conditions, le prix moyen payé pour une place est d’environ 2,72 euros.

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DEUXIÈME PARTIE · EXERCICE 3

Deux affirmations à justifier

4 points
25 min conseillées

Énoncé

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.

Les deux questions sont indépendantes.

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère les points $A(2;0)$ , $B(3;2)$ et $C(0;4)$ .

Affirmation : les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par :
$f(x)=(3x-1)\mathrm e^x.$
On note $\mathcal C$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ .

a. Affirmation : la fonction $f$ est croissante sur $\mathbb R$ .

b. Affirmation : la tangente à la courbe $\mathcal C$ au point d’abscisse $0$ a pour équation $y=2x-1$ .

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Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

1. Étudier la perpendicularité

Calculons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :

\overrightarrow{AB} =\begin{pmatrix}3-2\\2-0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad \overrightarrow{AC} =\begin{pmatrix}0-2\\4-0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}.

Leur produit scalaire vaut :

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =1\times(-2)+2\times4 =-2+8 =6.

Ce produit scalaire n’est pas nul. Les vecteurs ne sont donc pas orthogonaux et les droites $(AB)$ et $(AC)$ ne sont pas perpendiculaires. L’affirmation est fausse.

2. Étudier la fonction

a. La fonction $f$ est le produit des fonctions $u:x\mapsto3x-1$ et $v:x\mapsto\mathrm e^x$ . On a $u'(x)=3$ et $v'(x)=\mathrm e^x$ . Avec la formule $(uv)'=u'v+uv'$ :

\begin{aligned} f'(x) &=3\mathrm e^x+(3x-1)\mathrm e^x\\ &=(3+3x-1)\mathrm e^x\\ &=(3x+2)\mathrm e^x. \end{aligned}

Pour tout réel $x$ , $\mathrm e^x>0$ . Le signe de $f'(x)$ est donc celui de $3x+2$ :

3x+2<0 \iff x<-\frac23.

Ainsi, $f$ est décroissante sur $]-\infty;-\dfrac23]$ , puis croissante sur $[-\dfrac23;+\infty[$ . Elle n’est pas croissante sur tout $\mathbb R$ . L’affirmation est fausse.

b. Calculons la valeur de la fonction et celle de sa dérivée en $0$ :

f(0)=(3\times0-1)\mathrm e^0=-1

et

f'(0)=(3\times0+2)\mathrm e^0=2.

La tangente au point d’abscisse $0$ a pour équation :

\begin{aligned} y &=f'(0)(x-0)+f(0)\\ &=2x-1. \end{aligned}

L’affirmation est donc vraie.

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