Deux affirmations à justifier — Antilles-Guyane 2026

Énoncé

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.

Les deux questions sont indépendantes.

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère les points $A(2;0)$ , $B(3;2)$ et $C(0;4)$ .

Affirmation : les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par :
$f(x)=(3x-1)\mathrm e^x.$
On note $\mathcal C$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ .

a. Affirmation : la fonction $f$ est croissante sur $\mathbb R$ .

b. Affirmation : la tangente à la courbe $\mathcal C$ au point d’abscisse $0$ a pour équation $y=2x-1$ .

Voir la correction détaillée

Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

1. Étudier la perpendicularité

Calculons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :

\overrightarrow{AB} =\begin{pmatrix}3-2\\2-0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad \overrightarrow{AC} =\begin{pmatrix}0-2\\4-0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}.

Leur produit scalaire vaut :

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =1\times(-2)+2\times4 =-2+8 =6.

Ce produit scalaire n’est pas nul. Les vecteurs ne sont donc pas orthogonaux et les droites $(AB)$ et $(AC)$ ne sont pas perpendiculaires. L’affirmation est fausse.

2. Étudier la fonction

a. La fonction $f$ est le produit des fonctions $u:x\mapsto3x-1$ et $v:x\mapsto\mathrm e^x$ . On a $u'(x)=3$ et $v'(x)=\mathrm e^x$ . Avec la formule $(uv)'=u'v+uv'$ :

\begin{aligned} f'(x) &=3\mathrm e^x+(3x-1)\mathrm e^x\\ &=(3+3x-1)\mathrm e^x\\ &=(3x+2)\mathrm e^x. \end{aligned}

Pour tout réel $x$ , $\mathrm e^x>0$ . Le signe de $f'(x)$ est donc celui de $3x+2$ :

3x+2<0 \iff x<-\frac23.

Ainsi, $f$ est décroissante sur $]-\infty;-\dfrac23]$ , puis croissante sur $[-\dfrac23;+\infty[$ . Elle n’est pas croissante sur tout $\mathbb R$ . L’affirmation est fausse.

b. Calculons la valeur de la fonction et celle de sa dérivée en $0$ :

f(0)=(3\times0-1)\mathrm e^0=-1

f'(0)=(3\times0+2)\mathrm e^0=2.

La tangente au point d’abscisse $0$ a pour équation :

\begin{aligned} y &=f'(0)(x-0)+f(0)\\ &=2x-1. \end{aligned}

L’affirmation est donc vraie.