Problèmes progressifs de mathématiques — 3e et seconde

Voici une petite compilation d’exercices visant à préparer l’arrivée en seconde. Ces exercices ne couvrent pas tout le programme de 3ème. L’objectif est surtout de faire la travailler la résolution de problème, nottament la mise en équation(s) et la résolution de ces équations.

Les problèmes sont classés par ordre de difficulté croissante. Ceux qui comportent une indication font appel à une notion généralement abordée en seconde ; les annexes présentent les outils nécessaires pour les traiter.

Niveau 1

Exercice 1 — Une réduction

Un magasin applique une réduction de $25\,\%$ sur le prix affiché d’un sac, puis déduit un bon d’achat de 6 €. Le client paie finalement 30 €.

Déterminer le prix affiché du sac avant la réduction.

Exercice 2 — Une recette

Pour quatre personnes, une recette nécessite $300\,\mathrm{g}$ de farine. Après avoir préparé le même nombre de portions pour chaque convive, on a prélevé la farine dans un paquet qui en contenait initialement $1{,}2\,\mathrm{kg}$ . Il reste ensuite $150\,\mathrm{g}$ dans le paquet.

Déterminer le nombre de personnes pour lesquelles la recette a été préparée.

Exercice 3 — Deux cyclistes

Alice part à vélo à 9 h et roule à la vitesse constante de $18\,\mathrm{km/h}$ . Bob emprunte exactement le même trajet à partir de 9 h 30 et roule à $24\,\mathrm{km/h}$ .

Déterminer à quelle heure Bob rattrape Alice.

Niveau 2

Exercice 4 — Repeindre une chambre

Une chambre rectangulaire mesure $4{,}2\,\mathrm{m}$ de longueur et $2{,}5\,\mathrm{m}$ de hauteur. Sa largeur est inconnue. La surface totale des portes et des fenêtres est de $3\,\mathrm{m^2}$ . On ne peint ni le plafond, ni le sol, ni les ouvertures. Deux couches ont utilisé exactement $9\,\mathrm{L}$ de peinture, sachant qu’un litre couvre $8\,\mathrm{m^2}$ pour une couche.

Déterminer la largeur de la chambre.

Exercice 5 — Recharger un téléphone

Un chargeur délivre une puissance constante de $20\,\mathrm{W}$ pendant $1{,}5\,\mathrm{h}$ pour une recharge complète. L’électricité coûte 0,25 € par kilowattheure. On rappelle que l’énergie consommée est le produit de la puissance par la durée.

Déterminer le nombre de recharges complètes correspondant à une dépense de 6 €.

Exercice 6 — Une randonnée

Une randonneuse part à 13 h 45 et doit arriver à 15 h 15. Elle marche à la vitesse moyenne de $4{,}5\,\mathrm{km/h}$ et prévoit une pause de 20 minutes. Son itinéraire est représenté sur une carte à l’échelle $1:25\,000$ .

Déterminer la longueur maximale que son itinéraire peut mesurer sur la carte pour qu’elle arrive à l’heure.

Niveau 3

Exercice 7 — Location d’un vélo

Deux entreprises proposent de louer un vélo aux tarifs suivants :

Offre	Tarif
Offre A	8 € de frais fixes, puis 2,50 € par heure
Offre B	Aucun frais fixe, puis 4 € par heure

Déterminer, en fonction de la durée de location, laquelle des deux offres est la moins chère.

Exercice 8 — Remplissage d’une citerne

Une citerne de $1\,000\,\mathrm{L}$ contient initialement $120\,\mathrm{L}$ d’eau. Une pompe y ajoute $18\,\mathrm{L/min}$ , mais une fuite laisse s’échapper simultanément $3\,\mathrm{L/min}$ .

Déterminer pendant combien de temps la pompe peut fonctionner avant que la citerne ne déborde.

Exercice 9 — Mesurer un arbre

Au même instant, un bâton vertical de $1{,}50\,\mathrm{m}$ produit une ombre de $1{,}20\,\mathrm{m}$ . L’ombre d’un arbre est mesurée à $7{,}60\,\mathrm{m}$ , avec une incertitude de $0{,}10\,\mathrm{m}$ : sa longueur réelle est donc comprise entre $7{,}50\,\mathrm{m}$ et $7{,}70\,\mathrm{m}$ .

Donner l’encadrement le plus précis possible de la hauteur de l’arbre à partir de ces données.

Niveau 4

Exercice 10 — Une rampe d’accès

L’entrée d’un bâtiment se situe à $72\,\mathrm{cm}$ au-dessus du sol. Une rampe rectiligne doit former un angle inférieur ou égal à $5^\circ$ avec l’horizontale. L’espace disponible devant le bâtiment est de $8\,\mathrm{m}$ , mesuré horizontalement.

Déterminer si une rampe respectant cette contrainte peut être installée dans l’espace disponible.

Exercice 11 — La traversée d’un tunnel

Un train roule à la vitesse constante de $72\,\mathrm{km/h}$ . Un tunnel mesure $900\,\mathrm{m}$ . Il s’écoule exactement $60\,\mathrm{s}$ entre l’instant où l’avant du train entre dans le tunnel et celui où son dernier wagon en sort.

Trouver la longueur du train en justifiant la réponse par une mise en équation.

Exercice 12 — Voyage en voiture électrique

Une voiture électrique possède une batterie de capacité utile $60\,\mathrm{kWh}$ . Elle part avec $70\,\%$ de charge, son trajet nécessite $55\,\mathrm{kWh}$ , et elle doit conserver au moins $15\,\%$ de charge à l’arrivée.

On rappelle que, pour une puissance constante, l’énergie vérifie $E=P\,t$ , où la durée $t$ est exprimée en heures.

Elle peut s’arrêter au maximum 25 minutes à l’une des bornes suivantes :

Borne	Puissance	Tarif
A	50 kW	1 € de connexion + 0,35 €/kWh
B	100 kW	0,48 €/kWh

On suppose que la puissance annoncée est constante et que toute l’énergie fournie est stockée dans la batterie.

Déterminer quelle borne permet de terminer le trajet en respectant toutes les contraintes et quel sera le coût minimal.

Niveau 5

Exercice 13 — Trajectoire d’un ballon

Une personne lance un ballon depuis son balcon. La hauteur du ballon est modélisée par l’équation

h(x)=-2(x-5)^2+72,

où $x$ désigne la distance horizontale parcourue et $h(x)$ la hauteur du ballon, en mètres.

Trouver la distance horizontale parcourue lorsque le ballon touche le sol après son lancer.

Exercice 14 — Récupération d’eau de pluie

Le toit rectangulaire d’une maison a une largeur $x$ mètres et une longueur supérieure de $4\,\mathrm{m}$ à sa largeur. La pluviométrie annuelle est de $600\,\mathrm{mm}$ et le dispositif récupère $80\,\%$ de l’eau tombée sur le toit. On rappelle qu’un millimètre de pluie sur un mètre carré représente un litre d’eau. Le propriétaire souhaite récupérer $28\,800\,\mathrm{L}$ par an.

Trouver les dimensions du toit permettant d’atteindre exactement cet objectif.

Exercice 15 — Concevoir un enclos

Un agriculteur dispose de $40\,\mathrm{m}$ de grillage pour construire un enclos rectangulaire adossé à un mur. Le mur constitue entièrement l’un des deux grands côtés de l’enclos et ne nécessite donc aucun grillage.

Déterminer les dimensions de l’enclos qui rendent son aire maximale.

Niveau 6

Exercice 16 — Production solaire

À 10 h, une batterie de capacité $5\,\mathrm{kWh}$ contient $1\,\mathrm{kWh}$ . Entre 10 h et 14 h, la puissance produite par des panneaux solaires augmente linéairement de $1\,\mathrm{kW}$ à $3\,\mathrm{kW}$ , tandis que la maison consomme constamment $0{,}5\,\mathrm{kW}$ . Toute l’énergie disponible en surplus est stockée et on néglige les pertes.

Trouver l’heure à laquelle la batterie devient pleine.

Exercice 17 — Livraison par drone

Le point de livraison se trouve à $4\,\mathrm{km}$ exactement au nord du point de départ. Dans l’air immobile, le drone se déplace à $25\,\mathrm{km/h}$ . Un vent constant de $7\,\mathrm{km/h}$ souffle vers l’est. La vitesse du drone par rapport au sol est obtenue en ajoutant sa vitesse par rapport à l’air à celle du vent.

Déterminer les composantes de la vitesse que le drone doit adopter par rapport à l’air pour atteindre directement le point de livraison, ainsi que la durée du vol.

Exercice 18 — La première énigme du djinn

La somme des âges actuels d’une princesse et de son frère, le prince, est égale à $44$ ans. Il y a quatre ans, la princesse avait deux fois l’âge du prince.

Quels sont leurs âges actuels ?

Niveau 7

Exercice 19 — La seconde énigme du djinn

Une princesse est aussi âgée que le prince le sera lorsque la princesse aura deux fois l’âge que le prince avait quand l’âge de la princesse était la moitié de la somme de leurs âges actuels.

La princesse a dix ans de plus que le prince: quel est l’âge de la princesse ?

Source : d’après une énigme de Baldur’s Gate II.

Annexes de méthode

Les quatre annexes introduisent des outils utiles aux derniers problèmes.

Annexe A — Maximiser un produit lorsque la somme est fixée

Soient $u$ et $v$ deux nombres positifs dont la somme est fixée :

u+v=S.

Le carré d’un nombre étant toujours positif ou nul,

(u-v)^2\geq 0.

Or l’identité remarquable

(u-v)^2=(u+v)^2-4uv

permet d’obtenir

S^2-4uv\geq 0, \qquad\text{donc}\qquad uv\leq \frac{S^2}{4}.

Ainsi, aucun produit $uv$ ne peut dépasser $S^2/4$ . Pour savoir si cette valeur peut réellement être atteinte, il faut examiner le cas d’égalité :

uv=\frac{S^2}{4} \quad\Longleftrightarrow\quad (u-v)^2=0 \quad\Longleftrightarrow\quad u=v.

Comme $u+v=S$ , cette égalité correspond à

u=v=\frac{S}{2}.

Le produit est donc maximal lorsque les deux nombres sont égaux. Dès que $u\neq v$ , le carré $(u-v)^2$ est strictement positif et le produit est strictement inférieur à $S^2/4$ .

Pour appliquer cette propriété, il faut chercher deux quantités positives :

dont la somme est constante ;
dont le produit est égal, éventuellement à un facteur constant près, à la grandeur que l’on souhaite maximiser.

Exemple — Un panneau rectangulaire

Un artiste dispose de $36\,\mathrm{m}$ de ruban pour border entièrement un panneau rectangulaire. Il souhaite obtenir la plus grande surface d’affichage possible.

Si $u$ et $v$ sont les dimensions du panneau, en mètres, son périmètre vérifie

2u+2v=36, \qquad\text{donc}\qquad u+v=18.

Son aire est le produit $uv$ . La propriété précédente donne

uv\leq\frac{18^2}{4}=81.

Cette valeur est atteinte lorsque les deux dimensions sont égales :

u=v=9\,\mathrm{m}.

La plus grande surface d’affichage possible est donc $81\,\mathrm{m^2}$ .

Par comparaison, un panneau de $8\,\mathrm{m}$ sur $10\,\mathrm{m}$ n’offre que $80\,\mathrm{m^2}$ , et un panneau de $5\,\mathrm{m}$ sur $13\,\mathrm{m}$ seulement $65\,\mathrm{m^2}$ .

Remarque — Cas d’une somme pondérée. Si $a$ , $b$ , $u$ et $v$ sont positifs, avec $a$ et $b$ non nécessairement égaux, et si

au+bv=S,

on peut poser $u'=au$ et $v'=bv$ . On obtient alors $u'+v'=S$ et le résultat précédent donne

u'v'\leq \frac{S^2}{4}.

Or $u'v'=abuv$ . Comme $ab$ est un nombre positif fixé, maximiser $u'v'$ revient à maximiser $uv$ . Ainsi,

uv\leq \frac{S^2}{4ab}.

Le maximum est atteint lorsque $u'=v'$ , c’est-à-dire lorsque

au=bv=\frac{S}{2}.

Remarque — Interprétation géométrique. Cette propriété s’illustre par un résultat classique : à périmètre fixé, parmi tous les rectangles, le carré est celui dont l’aire est la plus grande. Plus généralement, parmi tous les quadrilatères non croisés ayant un même périmètre, le carré possède également l’aire maximale ; ce résultat plus général est admis ici.

La figure suivante compare, à la même échelle, quatre quadrilatères dont le périmètre vaut toujours $16\,\mathrm{m}$ .

Les quatre périmètres sont égaux, mais le carré occupe la plus grande surface.

Annexe B — Calculer une énergie lorsque la puissance varie

On représente l’évolution d’une puissance en plaçant le temps sur l’axe horizontal et la puissance sur l’axe vertical. L’énergie produite ou consommée pendant un intervalle de temps correspond alors à l’aire située sous la courbe de puissance pendant cet intervalle.

Lorsque la puissance $P$ est constante pendant une durée $t$ , l’énergie correspondante est

E=P\,t.

Avec une puissance exprimée en kilowatts et une durée exprimée en heures, l’énergie obtenue est exprimée en kilowattheures.

Si la puissance varie de façon linéaire, il faut distinguer deux situations. Sur une durée fixée $T$ , les puissances au début et à la fin de l’intervalle, $P(0)$ et $P(T)$ , sont deux valeurs connues. L’aire sous le segment se décompose alors en un rectangle et un triangle.

L’énergie est l’aire sous la courbe de puissance.

On obtient

\begin{aligned} E &=P(0)\,T +\frac{\bigl(P(T)-P(0)\bigr)\,T}{2}\\ &=\frac{P(0)+P(T)}{2}\,T. \end{aligned}

La quantité

P_{\mathrm{moy}}=\frac{P(0)+P(T)}{2}

est la puissance moyenne pendant la durée considérée. Ainsi,

E=P_{\mathrm{moy}}\,T.

Lorsque la durée est inconnue

Si l’on regarde la puissance à un instant intermédiaire $t<T$ , la puissance est donnée par une fonction affine

P(t)=P_0+a t,

où $P_0=P(0)$ et où $a$ représente l’augmentation de puissance par unité de temps (que l’on peut déterminer via $P(0)$ , $P(T)$ et $T$ ), l’énergie accumulée entre les instants $0$ et $t$ est l’aire du trapèze :

\begin{aligned} E(t) &=\frac{P(0)+P(t)}{2}\,t\\ &=\frac{P_0+(P_0+a t)}{2}\,t\\ &=P_0t+\frac{a}{2}t^2. \end{aligned}

L’énergie $E(t)$ est donc une expression quadratique en $t$ .

Remarque — Aire sous la courbe. De nombreuses grandeurs physiques sont reliées par ce principe. Par exemple, sur un intervalle de temps, l’aire sous la courbe représentant la vitesse donne le déplacement, tandis que l’aire sous la courbe représentant l’accélération donne la variation de vitesse. Dans cette annexe, la puissance est constante ou varie de façon linéaire : les aires se calculent donc avec des rectangles et des triangles. Pour des fonctions plus complexes, ces calculs se généralisent grâce à l’intégrale, une notion étudiée plus en détail en terminale.

Annexe C — Utiliser des vecteurs dans le plan

Dans un repère muni d’un axe horizontal $x$ et d’un axe vertical $y$ , un vecteur $\overrightarrow{u}=(u_x\,;u_y)$ est décrit par deux composantes :

$u_x$ est sa composante selon l’axe horizontal ;
$u_y$ est sa composante selon l’axe vertical.

La longueur, ou norme, de ce vecteur se calcule avec le théorème de Pythagore :

\left\lVert \overrightarrow{u}\right\rVert=\sqrt{u_x^2+u_y^2}.

Deux vecteurs s’additionnent composante par composante :

\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(u_x+v_x\,;u_y+v_y).

Le second vecteur est placé à l’extrémité du premier ; le vecteur résultant relie le départ à l’arrivée.

Exemple — Un rameur soumis au courant

Un rameur avance à $12\,\mathrm{km/h}$ selon l’axe $x$ par rapport à l’eau. Le courant se déplace à $5\,\mathrm{km/h}$ selon l’axe $y$ . On a donc

\overrightarrow{v}_{\mathrm{b}}=(12\,;0), \qquad \overrightarrow{v}_{\mathrm{c}}=(0\,;5).

La vitesse du bateau mesurée depuis le rivage vaut

\overrightarrow{v}_{\mathrm{s}} =\overrightarrow{v}_{\mathrm{b}}+\overrightarrow{v}_{\mathrm{c}} =(12\,;5)\ \mathrm{km/h}.

Sa norme est

\left\lVert\overrightarrow{v}_{\mathrm{s}}\right\rVert =\sqrt{12^2+5^2} =\sqrt{169} =13\,\mathrm{km/h}.

Annexe D — Résoudre un système par sommes et différences

Un système regroupe plusieurs équations qui doivent être vérifiées simultanément par les mêmes inconnues. Pour le résoudre, on peut additionner ou soustraire deux équations afin de faire disparaître une inconnue.

Effectuer une opération sur des équations

Une équation affirme que son membre de gauche est égal à son membre de droite. Toute opération doit donc être effectuée des deux côtés de l’égalité.

L_1:A=B \qquad\text{et}\qquad L_2:C=D,

alors

\begin{aligned} 2L_1&: &2A&=2B,\\ L_1+L_2&: &A+C&=B+D,\\ L_1-L_2&: &A-C&=B-D,\\ 2L_1-L_2&: &2A-C&=2B-D. \end{aligned}

Multiplier une équation par un nombre non nul, ou remplacer une équation par sa somme ou sa différence avec une autre, ne change pas les solutions du système. Ces opérations servent à faire disparaître une inconnue.

Dans les systèmes linéaires étudiés ici, pour déterminer toutes les inconnues de manière unique, on cherche à disposer d’autant d’équations indépendantes que d’inconnues. Deux équations sont indépendantes lorsque l’une ne peut pas être obtenue à partir de l’autre.

Exemple avec deux équations et deux inconnues

Considérons le système

\left\{ \begin{aligned} x+y &= 7 && (L_1),\\ 2x-y &= 5 && (L_2). \end{aligned} \right.

Pour utiliser $2L_1-L_2$ , on commence par multiplier les deux membres de $L_1$ par $2$ :

2L_1:\qquad 2x+2y=14.

On soustrait ensuite $L_2$ :

\begin{aligned} (2x+2y)-(2x-y)&=14-5,\\ 3y&=9,\\ y&=3. \end{aligned}

Pour déterminer $x$ , on additionne $L_1$ et $L_2$ :

\begin{aligned} (x+y)+(2x-y)&=7+5,\\ 3x&=12,\\ x&=4. \end{aligned}

La solution est donc $(x\,;y)=(4\,;3)$ . On vérifie :

4+3=7 \qquad\text{et}\qquad 2\times4-3=5.

Exemple avec trois équations et trois inconnues

Considérons maintenant

\left\{ \begin{aligned} x+y+z &= 9 && (L_1),\\ x+y-z &= 3 && (L_2),\\ x-y+z &= 5 && (L_3). \end{aligned} \right.

Chaque inconnue peut être isolée grâce à une somme ou à une différence :

\begin{aligned} L_2+L_3:\quad 2x&=8, &x&=4,\\ L_1-L_3:\quad 2y&=4, &y&=2,\\ L_1-L_2:\quad 2z&=6, &z&=3. \end{aligned}

La solution est $(x\,;y\,;z)=(4\,;2\,;3)$ . On vérifie :

4+2+3=9, \qquad 4+2-3=3, \qquad 4-2+3=5.