Olympiades internationales de mathématiques : problèmes corrigés

Poser $k=\dfrac{a^2+b^2}{ab+1}$, un entier d’après l’énoncé. Raisonner par l’absurde : supposer qu’il existe un couple $(a,b)$ pour lequel $k$ n’est pas un carré, puis choisir un tel couple pour lequel $a+b$ est minimal. Par symétrie, on peut prendre $a\geq b$. À partir de ce couple, chercher à construire un autre couple $(c,b)$ tel que $k=\dfrac{c^2+b^2}{cb+1}$ et étudier ses propriétés pour en déduire l’absurdité.

Pour trouver $c$, considérer le trinôme $f(x)=x^2-kbx+b^2-k$ et étudier les propriétés de ses racines.

Pour $k\geq2$, calculer $f(b)$ et $f(-1)$. En déduire un encadrement pour $c$, puis montrer que $c>0$ avant de conclure.

1. Supposer qu’un contre-exemple existe. La divisibilité assure que

$k=\frac{a^2+b^2}{ab+1}$

est un entier strictement positif. S’il vaut $1$, le résultat est acquis. Supposons donc qu’il existe un couple $(a,b)$ pour lequel $k$ n’est pas un carré. Parmi tous ces couples, choisissons-en un de somme $a+b$ minimale. En échangeant $a$ et $b$ au besoin, nous pouvons supposer $a\geq b$. Comme $k$ est un entier positif différent de $1$, on a $k\geq2$.

2. Construire une autre racine entière. L’égalité $a^2+b^2=k(ab+1)$ devient

$a^2-kba+b^2-k=0.$

Le trinôme $f(x)=x^2-kbx+b^2-k$ admet donc $a$ pour racine. La somme de ses racines vaut $kb$ : sa seconde racine $c=kb-a$ est entière. Leur produit vaut $b^2-k$, ce qui donne aussi $ac=b^2-k$.

3. Montrer que $c$ est strictement positif et plus petit que $b$. On calcule

$f(-1)=1+kb+b^2-k=1+b^2+k(b-1)>0,$

car $b\geq1$. D’autre part,

$f(b)=(2-k)b^2-k<0,$

car $k\geq2$. Ainsi, une racine de $f$ se situe strictement entre $-1$ et $b$, et l’autre est strictement supérieure à $b$. Puisque $a\geq b$, $a$ est cette dernière racine ; on obtient donc $-1<c<b$. L’entier $c$ est donc supérieur ou égal à zéro. S’il était nul, la relation $ac=b^2-k$ imposerait $k=b^2$, contrairement à l’hypothèse que $k$ n’est pas un carré. Par conséquent, $0<c<b<a$.

4. Conclure par descente. Puisque $f(c)=0$, nous avons

$c^2+b^2=k(bc+1).$

Le couple d’entiers strictement positifs $(b,c)$ satisfait donc la même condition de divisibilité et fournit le même quotient $k$, qui n’est toujours pas un carré. Mais $b+c<a+b$ puisque $c<a$ : cela contredit la minimalité choisie. Aucun contre-exemple n’existe ; le quotient est nécessairement le carré d’un entier.

À titre de vérification, $(a,b)=(2,8)$ satisfait la condition et donne $(a^2+b^2)/(ab+1)=68/17=4=2^2$.