Assurance et location de bicyclettes — Métropole, La Réunion et Mayotte 2026

Énoncé

Un loueur de bicyclettes propose deux types de bicyclettes : des bicyclettes traditionnelles et des bicyclettes électriques. Il incite ses clients à prendre une assurance. On dispose des informations suivantes.

60 % des clients ont loué une bicyclette traditionnelle, les autres ont loué une bicyclette électrique.
Parmi ceux qui ont loué une bicyclette traditionnelle, 25 % ont pris une assurance.
20 % de l’ensemble des clients ont pris une assurance.

On choisit un client au hasard et on note les événements :

$T$ : « le client a loué une bicyclette traditionnelle » ;
$A$ : « le client a pris une assurance ».

Recopier l’arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés.

Donner, par simple lecture de l’énoncé, la probabilité de l’événement $A$ .
Montrer que la probabilité que le client ait loué une bicyclette traditionnelle et qu’il ait pris une assurance est égale à $0{,}15$ .
En déduire que la probabilité $P\left(\overline T\cap A\right)$ est égale à $0{,}05$ .
Déterminer la probabilité que le client ait pris une assurance sachant qu’il a loué une bicyclette électrique. On donnera le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

Voir la correction détaillée

Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

1. Compléter l’arbre

Comme 60 % des clients ont loué une bicyclette traditionnelle :

P(T)=0{,}60.

Les événements $T$ et $\overline T$ sont contraires, donc :

P(\overline T)=1-P(T)=1-0{,}60=0{,}40.

Parmi les clients ayant loué une bicyclette traditionnelle, 25 % ont pris une assurance. Ainsi :

P_T(A)=0{,}25 \qquad\text{et}\qquad P_T(\overline A)=1-0{,}25=0{,}75.

Les quatre pointillés de l’arbre sont donc complétés par $0{,}60$ , $0{,}40$ , $0{,}25$ et $0{,}75$ .

2. Lire une probabilité

L’énoncé indique que 20 % de l’ensemble des clients ont pris une assurance. Par conséquent :

\boxed{P(A)=0{,}20}.

3. Probabilité de $T\cap A$

Le chemin correspondant à $T\cap A$ porte les probabilités $P(T)$ et $P_T(A)$ . La règle du produit donne :

P(T\cap A)=P(T)\times P_T(A) =0{,}60\times0{,}25 =\boxed{0{,}15}.

4. Probabilité de $\overline T\cap A$

L’événement $A$ se décompose en deux événements incompatibles : $T\cap A$ et $\overline T\cap A$ . Ainsi :

P(A)=P(T\cap A)+P(\overline T\cap A).

Donc :

P(\overline T\cap A) =0{,}20-0{,}15 =\boxed{0{,}05}.

5. Probabilité conditionnelle

La probabilité cherchée est $P_{\overline T}(A)$ . Par définition :

P_{\overline T}(A) =\frac{P(\overline T\cap A)}{P(\overline T)} =\frac{0{,}05}{0{,}40} =\frac{5}{40} =\boxed{\frac18}.