Étudier une fonction rationnelle — Centres étrangers, groupe 1 2026

Énoncé

Soit $f$ une fonction définie sur $]0; +\infty[$ . On a tracé dans le repère ci-dessous la courbe $\mathcal C_f$ représentative de la fonction $f$ et la droite $T_A$ tangente à la courbe $\mathcal C_f$ au point $A$ de coordonnées $(1;20)$ . La droite $T_A$ passe par le point $B$ de coordonnées $(3;10)$ .

a. Donner $f(1)$ .

b. Déterminer la valeur de $f'(1)$ .

c. Justifier que l’équation réduite de la tangente $T_A$ à $\mathcal C_f$ au point $A$ est $y=-5x+25$ .

Pour la suite de l’exercice, la fonction $f$ est définie sur $]0;+\infty[$ par

f(x)=\frac{4x^2+7x+9}{x}.

On admet que $f$ est dérivable sur cet intervalle.

a. Démontrer que, pour tout $x\in]0;+\infty[$ ,
$f'(x)=\frac{(2x-3)(2x+3)}{x^2}.$
b. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]0;+\infty[$ .

c. En déduire les variations de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$ .
Existe-t-il une tangente à $\mathcal C_f$ parallèle à la droite d’équation $y=3x+5$ ? Justifier votre réponse.

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1. Exploiter le graphique

a. Le point $A(1;20)$ appartient à $\mathcal C_f$ . Son ordonnée est donc l’image de $1$ :

f(1)=20.

b. Le nombre dérivé $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente $T_A$ . Puisque cette droite passe par $A$ et $B$ :

f'(1)=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} =\frac{10-20}{3-1} =-5.

c. Une droite de coefficient directeur $-5$ passant par $A(1;20)$ vérifie :

y-20=-5(x-1).

En développant, on obtient bien $\boxed{y=-5x+25}$ .

2. Étudier les variations

a. Posons $u(x)=4x^2+7x+9$ et $v(x)=x$ . Alors $u'(x)=8x+7$ et $v'(x)=1$ . La formule de dérivation d’un quotient donne :

\begin{aligned} f'(x) &=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}\\ &=\frac{(8x+7)x-(4x^2+7x+9)}{x^2}\\ &=\frac{4x^2-9}{x^2}\\ &=\frac{(2x-3)(2x+3)}{x^2}. \end{aligned}

b. Sur $]0;+\infty[$ , les facteurs $x^2$ et $2x+3$ sont strictement positifs. Le signe de $f'(x)$ est donc celui de $2x-3$ :

$f'(x)<0$ lorsque $0<x<\dfrac32$ ;
$f'\left(\dfrac32\right)=0$ ;
$f'(x)>0$ lorsque $x>\dfrac32$ .

c. La fonction est décroissante sur $]0;\dfrac32]$ , puis croissante sur $[\dfrac32;+\infty[$ . Sa valeur minimale est :

f\left(\frac32\right) =\frac{4\times\left(\frac32\right)^2+7\times\frac32+9}{\frac32} =19.

$x$	$0$		$\frac32$		$+\infty$
Signe de $f'(x)$		−	0	+
Variations de $f$		↘	$19$	↗

3. Chercher une tangente parallèle

La droite $y=3x+5$ a pour coefficient directeur $3$ . Une tangente à $\mathcal C_f$ lui est parallèle si son coefficient directeur vaut aussi $3$ . Il faut résoudre $f'(x)=3$ :

\frac{4x^2-9}{x^2}=3 \iff 4x^2-9=3x^2 \iff x^2=9.

Les solutions de $x^2=9$ sont $-3$ et $3$ , mais le domaine étudié est $]0;+\infty[$ . Seule $x=3$ convient. Il existe donc une tangente parallèle à la droite donnée au point d’abscisse $3$ . Comme $f(3)=22$ , ce point est $(3;22)$ .