Calculer un angle dans un repère — Centres étrangers, groupe 1 2026

Énoncé

On se place dans le plan muni d’un repère orthonormé. On considère les points $A(-1;5)$ , $B(3;5)$ et $C(4;0)$ .

a. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ .

b. En déduire la valeur du produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ .
a. Montrer que $AC=5\sqrt2$ . On admet que $AB=4$ .

b. Écrire l’expression permettant de calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ en fonction de l’angle $\widehat{BAC}$ .

c. En déduire une mesure, en radian, de l’angle $\widehat{BAC}$ .

Aide aux calculs :

\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2} \qquad\text{et}\qquad \frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{\sqrt2}{2}.

Voir la correction détaillée

Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

a. On soustrait les coordonnées du point de départ à celles du point d’arrivée :

\overrightarrow{AB} =\begin{pmatrix}3-(-1)\\5-5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix},

\overrightarrow{AC} =\begin{pmatrix}4-(-1)\\0-5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5\\-5\end{pmatrix}.

b. Avec les coordonnées obtenues :

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =4\times5+0\times(-5) =20.

a. Dans un repère orthonormé :

AC=\sqrt{(4-(-1))^2+(0-5)^2} =\sqrt{5^2+(-5)^2} =\sqrt{50} =5\sqrt2.

b. L’expression géométrique du produit scalaire est :

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =AB\times AC\times\cos\left(\widehat{BAC}\right).

Dans cette situation :

20=4\times5\sqrt2\times\cos\left(\widehat{BAC}\right).

c. On isole le cosinus :

\cos\left(\widehat{BAC}\right) =\frac{20}{20\sqrt2} =\frac1{\sqrt2} =\frac{\sqrt2}{2}.

L’angle est compris entre $0$ et $\pi$ . Or $\cos\left(\dfrac\pi4\right)=\dfrac{\sqrt2}{2}$ . Ainsi :

\boxed{\widehat{BAC}=\frac\pi4}.