Jeu de boules à la fête foraine — Amérique du Nord 2026

Énoncé

Durant une fête foraine, une urne contient dix boules. Chaque boule est soit verte, soit rouge, indiscernable au toucher.

Un jeu est proposé aux personnes présentes à la fête foraine. Pour y participer, le joueur doit d’abord payer 1 euro.

Ensuite :

le joueur tire une première boule qu’il donne au forain ; celui-ci note sa couleur puis remet la boule dans l’urne ;
le joueur tire une deuxième boule ; le forain note la couleur de ce deuxième tirage et remet à nouveau la boule dans l’urne.

Voici les récompenses qu’il obtient :

si le joueur a tiré deux boules rouges, il reçoit 3 euros ;
si le joueur a tiré deux boules vertes, il reçoit 1 euro ;
sinon il ne reçoit pas d’argent.

Partie A

Dans cette partie, on considère que cette urne contient 1 boule rouge et 9 boules vertes.

On note :

$R_1$ l’événement : « la première boule tirée est rouge » ;
$R_2$ l’événement : « la deuxième boule tirée est rouge ».

Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous représentant la situation.

On note $X$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur, c’est-à-dire la différence entre la somme reçue après les deux tirages et les frais de participation au jeu de 1 euro.

a. Donner les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ .

b. Montrer que $P(X=-1)=\dfrac{18}{100}$ .

c. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$ .

$k$
$P(X=k)$

d. Calculer l’espérance de $X$ . Interpréter le résultat.

Partie B

Dans cette partie, on considère que cette urne contient maintenant $n$ boules rouges et $10-n$ boules vertes, où $n$ est un nombre entier naturel avec $0\leqslant n\leqslant10$ .

On note $Y$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique après les deux tirages.

Démontrer que :
$E(Y)=\frac{4n^2-20n}{100}.$
On expliquera la démarche mise en œuvre. Toute démarche, même incomplète, sera prise en compte dans la notation.
Pour combien de boules rouges dans l’urne le jeu est-il équitable entre le joueur et le forain ?

Voir la correction détaillée

Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

Partie A — Étudier le jeu avec une boule rouge

1. Compléter l’arbre

L’urne contient une boule rouge sur dix, donc :

P(R_1)=\frac1{10} \qquad\text{et}\qquad P(\overline{R_1})=\frac9{10}.

La première boule est remise dans l’urne. Sa composition ne change donc pas avant le second tirage. Sur chacune des branches du premier niveau :

P(R_2)=\frac1{10} \qquad\text{et}\qquad P(\overline{R_2})=\frac9{10}.

2. Déterminer la loi de $X$

a. Il faut retirer le prix d’entrée de 1 euro à chaque récompense :

deux boules rouges donnent un gain de $3-1=2$ euros ;
deux boules vertes donnent un gain de $1-1=0$ euro ;
deux boules de couleurs différentes donnent un gain de $0-1=-1$ euro.

Ainsi, $X$ prend les valeurs $-1$ , $0$ et $2$ .

b. Le gain vaut $-1$ lorsque les deux boules sont de couleurs différentes. Deux chemins de l’arbre conviennent :

\begin{aligned} P(X=-1) &=P(R_1\cap\overline{R_2}) +P(\overline{R_1}\cap R_2)\\ &=\frac1{10}\times\frac9{10} +\frac9{10}\times\frac1{10}\\ &=\boxed{\frac{18}{100}}. \end{aligned}

c. Pour les deux autres gains :

P(X=0)=\frac9{10}\times\frac9{10}=\frac{81}{100}

P(X=2)=\frac1{10}\times\frac1{10}=\frac1{100}.

La loi de probabilité de $X$ est donc :

$k$	$-1$	$0$	$2$
$P(X=k)$	$\dfrac{18}{100}$	$\dfrac{81}{100}$	$\dfrac{1}{100}$

d. L’espérance de $X$ vaut :

\begin{aligned} E(X) &=(-1)\times\frac{18}{100} +0\times\frac{81}{100} +2\times\frac1{100}\\ &=-\frac{16}{100}\\ &=\boxed{-0{,}16}. \end{aligned}

Sur un grand nombre de parties, un joueur perd en moyenne 0,16 euro par partie. Le jeu est donc avantageux pour le forain.

Partie B — Faire varier la composition de l’urne

La probabilité de tirer une boule rouge est $\dfrac n{10}$ et celle de tirer une boule verte est $\dfrac{10-n}{10}$ .

Le gain $Y$ vaut $2$ si les deux boules sont rouges, $0$ si elles sont toutes les deux vertes et $-1$ si elles sont de couleurs différentes. Ainsi :
$P(Y=2)=\frac{n^2}{100}$
et
$P(Y=-1) =2\times\frac n{10}\times\frac{10-n}{10} =\frac{2n(10-n)}{100}.$
On en déduit :
$\begin{aligned} E(Y) &=2\times\frac{n^2}{100} +0\times P(Y=0) -\frac{2n(10-n)}{100}\\ &=\frac{2n^2-20n+2n^2}{100}\\ &=\boxed{\frac{4n^2-20n}{100}}. \end{aligned}$
Le jeu est équitable lorsque le gain moyen du joueur est nul. On résout donc $E(Y)=0$ :
$\frac{4n^2-20n}{100}=0 \iff 4n(n-5)=0 \iff n=0\quad\text{ou}\quad n=5.$
Ces deux valeurs appartiennent bien à l’ensemble des entiers compris entre $0$ et $10$ . Le jeu est équitable lorsque l’urne contient 0 ou 5 boules rouges.