Comparer les effectifs de deux clubs sportifs — Centres étrangers, groupe 1 2026

Énoncé

En 2025, dans une ville, le club de basketball comptait 900 adhérents. On estime que chaque année, le club perd 10 adhérents.

Pour tout entier naturel $n$ , on note $B_n$ le nombre d’adhérents au club de basket en l’année $2025+n$ .

Calculer $B_1$ et interpréter le résultat.
Exprimer $B_n$ en fonction de $n$ .
Justifier qu’entre 2025 et 2035, le club aura perdu plus de 10 % de ses adhérents.

Dans cette même ville en 2025, le club de handball comptait 200 adhérents. Pour les années suivantes, on estime que le nombre d’adhérents au club de handball peut être représenté par le graphique suivant :

Par lecture graphique, estimer, avec la précision permise par le graphique, le nombre d’adhérents au club de handball en 2028.
On modélise le nombre d’adhérents au club de handball l’année $2025+n$ par $H_n$ et on admet que, pour tout entier naturel $n$ , $H_{n+1}=1{,}2\times H_n$ . Quelle est la nature de la suite $(H_n)$ ? Préciser son premier terme et sa raison.
À partir de quelle année le nombre d’adhérents au club de handball sera-t-il supérieur à celui du club de basket ? Justifier.

Voir la correction détaillée

Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

1. Effectif du club de basket en 2026

Le club perd 10 adhérents en un an :

B_1=900-10=\boxed{890}.

Le club de basket compte donc 890 adhérents en 2026.

2. Expression de $B_n$

La suite $(B_n)$ est arithmétique, de premier terme $B_0=900$ et de raison $-10$ . Par conséquent :

\boxed{B_n=900-10n}.

3. Perte entre 2025 et 2035

L’année 2035 correspond à $n=10$ :

B_{10}=900-10\times10=800.

Le club a perdu $900-800=100$ adhérents. Rapportée à l’effectif initial, cette perte représente :

\frac{100}{900}=\frac19\approx0{,}111,

soit environ $11{,}1\,\%$ . Le club aura donc perdu plus de 10 % de ses adhérents.

4. Lecture du graphique

L’année 2028 se situe trois ans après 2025. Pour $n=3$ , le point du graphique a une ordonnée voisine de 350. Le club comptera donc environ 350 adhérents.

5. Nature de la suite $(H_n)$

La relation $H_{n+1}=1{,}2H_n$ montre que chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par $1{,}2$ . La suite $(H_n)$ est donc géométrique, de premier terme $H_0=200$ et de raison $1{,}2$ .

Ainsi, pour tout entier naturel $n$ :

H_n=200\times1{,}2^n.

6. Comparer les deux effectifs

Calculons les effectifs autour du point de croisement visible sur le graphique :

H_7=200\times1{,}2^7\approx717 \qquad\text{et}\qquad B_7=900-10\times7=830,

H_8=200\times1{,}2^8\approx860 \qquad\text{et}\qquad B_8=900-10\times8=820.

Pour $n=7$ , le club de handball compte encore moins d’adhérents. Pour $n=8$ , il en compte davantage. Comme $(H_n)$ est croissante et $(B_n)$ décroissante, le premier dépassement a lieu en $2025+8$ , soit en 2033.