Étudier les variations d’une fonction polynôme — Centres étrangers, groupe 1 2026

Énoncé

Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $[0;10]$ par :

f(x)=-x^3+4{,}5x^2-6x+2.

Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à $[0;10]$ .
Vérifier que, pour tout réel $x$ appartenant à $[0;10]$ :
$f'(x)=(3x-6)(1-x).$
Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[0;10]$ .
En déduire les variations de $f$ sur $[0;10]$ .

Les valeurs des éventuels maximums et minimums ne sont pas demandées.

Voir la correction détaillée

Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

On dérive chaque terme du polynôme :

f'(x)=-3x^2+2\times4{,}5x-6 =\boxed{-3x^2+9x-6}.

Développons l’expression proposée :

(3x-6)(1-x)=3x-3x^2-6+6x=-3x^2+9x-6=f'(x).

On a donc bien $\boxed{f'(x)=(3x-6)(1-x)}$ .

Les deux facteurs s’annulent pour :

3x-6=0\iff x=2 \qquad\text{et}\qquad 1-x=0\iff x=1.

Sur $[0;10]$ , le produit est négatif avant 1, positif entre 1 et 2, puis négatif après 2.

Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive et décroissante lorsque sa dérivée est négative.

Ainsi, $f$ est décroissante sur $[0;1]$ , croissante sur $[1;2]$ , puis décroissante sur $[2;10]$ .